Integral gaussiana con coeficientes imaginarios y rotación de Wick

Proposición. Sean dados dos números complejos$a,b\in \mathbb{C}$tal que${\rm Re}(a)\geq 0$. En el caso${\rm Re}(a)=0$, exigimos además que${\rm Im}(a)\neq 0$y${\rm Re}(b)=0$. La integral de Gauss está bien definida y está dada por

$$\underbrace{\int_{\mathbb{R}}\!dx~ e^{-\frac{a}{2}x^2+bx}}_{=:~ I_{\mathbb{R}}(a,b)} ~=~\lim_{\begin{array}{c} x_i\to -\infty \cr x_f\to \infty \end{array} } \underbrace{\int_{[x_i,x_f]}\!dx~ e^{-\frac{a}{2}x^2+bx}}_{=:~ I_{[x_i,x_f]}(a,b)} ~=~\underbrace{\sqrt{\frac{2\pi}{a}}e^{\frac{b^2}{2a}}}_{=:~ F(a,b)}, \tag{A}$$ donde implícitamente se entiende que la raíz cuadrada tiene parte real positiva.

Observación: La integral de Riemann / Darboux no está definida para conjuntos no acotados, por lo que solo puede usarse para la expresión intermedia de la ec. (A).

I) Prueba esbozada en caso de${\rm Re}(a)> 0$: La función$g(x)=e^{-\frac{{\rm Re}(a)}{2}x^2+{\rm Re}(b)x}$sirve como una función mayoritaria para el teorema de convergencia dominada de Lebesgue , que establece la primera igualdad de la ec. (A). Para la segunda igualdad de la ec. (A), dividimos la demostración en casos:

1. Caso$a>0$y$b\in \mathbb{R}$. Completa el cuadrado .$\Box$

2. Caso$a>0$. Completar el cuadrado. Desplace el contorno de integración apropiadamente a una línea horizontal en el plano complejo para reducirlo al caso 1, cf. Teorema integral de Cauchy . Argumente que las contribuciones en el infinito desaparecen.$\Box$

3. Caso${\rm Re}(a)> 0$. Gire el contorno de integración a una línea de descenso más empinado para reducir al caso 2, cf. Teorema integral de Cauchy. Argumente que las contribuciones en el infinito desaparecen.$\Box$

II) Prueba esbozada en el caso oscilatorio${\rm Re}(a)=0, {\rm Im}(a)\neq 0, {\rm Re}(b)=0$: La izquierda. de la ec. (A) no es integrable de Lebesgue . Es una integral impropia definida a través de la expresión central de la ec. (A). Queda por demostrar la segunda igualdad de la ec. (A). Es posible dar una prueba usando el teorema integral de Cauchy en la línea de la respuesta de Jack . En esta respuesta, en cambio, daremos una prueba con el espíritu de una prescripción de deformación infinitesimal.

Dado$\varepsilon>0$. Como$x_i\to \infty$y$x_f\to \infty$no es dificil ver eso$I_{[x_i,x_f]}(a,b)$oscila con amplitud cada vez menor que tiende a cero, por lo que es convergente sin ninguna regularización. La convergencia mejora si dejamos$a$tienen una parte real positiva. En otras palabras, la convergencia es wrt uniforme.${\rm Re}(a)\geq 0$, es decir

$$\exists X_i,X_f\in \mathbb{R} ~\forall x_i\leq X_i~\forall x_f\geq X_f ~\forall {\rm Re}(a)\geq 0:~~ \left| I_{[x_i,x_f]}(a,b)- I_{\mathbb{R}}(a,b)\right| ~\leq~\frac{\varepsilon}{4}.\tag{B}$$

A continuación, utilice el teorema de convergencia dominada de Lebesgue con función mayoritaria de la forma$g(x)=C~1_{[x_i,x_f]}(x)$(donde$C>0$es una constante apropiada) para argumentar que

$$I_{[x_i,x_f]}( i{\rm Im}(a),b) ~=~\lim_{{\rm Re}(a)\to 0^+} I_{[x_i,x_f]}(a,b) , \tag{C}$$

es decir$\exists {\rm Re}(a)>0$tal que

$$\left| I_{[x_i,x_f]}( i{\rm Im}(a),b)-I_{[x_i,x_f]}( a ,b) \right| ~\leq~\frac{\varepsilon}{4},\tag{D}$$

y

$$\left| \underbrace{F( a ,b)}_{=~ I_{\mathbb{R}}(a,b)}- F( i{\rm Im}(a),b) \right| ~\leq~\frac{\varepsilon}{4}.\tag{E}$$

En la ec. (E) usamos que la función$F$es continuo Todos juntos, ecs. (B), (D) y (E) rendimiento

$$\begin{align} \left| I_{\mathbb{R}}(i{\rm Im}(a),b) - F( i{\rm Im}(a),b)\right| ~\leq~&\left| I_{\mathbb{R}}(i{\rm Im}(a),b)- I_{[x_i,x_f]}( i{\rm Im}(a),b)\right|\cr &+\left| I_{[x_i,x_f]}( i{\rm Im}(a),b) - I_{[x_i,x_f]}( a ,b)\right| \cr &+\left| I_{[x_i,x_f]}(a,b)- I_{\mathbb{R}}(a,b)\right|\cr &+\left|F( a ,b) - F( i{\rm Im}(a),b)\right| \cr ~\leq~&\varepsilon.\end{align} \tag{F}$$

ecuación (F) muestra que la segunda igualdad de la ec. (A) se mantiene.$\Box$

En primer lugar, es necesario probar la siguiente fórmula integral clave:

$$\begin{align*} \boxed{I = \int_{-\infty}^{+\infty} d x e^{ i a x^2} = \sqrt{\dfrac{i \pi}{a}} \qquad (a>0) } \end{align*}$$ Por lo general, uno puede recoger una función analítica $f(z)=e^{ i a z^2}$y luego realiza la integral compleja a lo largo del contorno cerrado que se muestra arriba. $$J = \oint d z e^{ i a z^2} = \int_{C_1} + \int_{C_2} + \int_{C_3} + \int_{C_4} = J_1 + J_2 + J_3 + J_4 =0$$ A continuación, es necesario calcular las cuatro integrales de línea a lo largo de cuatro intervalos diferentes.

1. $C_1:z=x \qquad x \in [-p,p]$ $$J_1 = \int_{C_1} dz e^{i a z^2} = \int_{-p}^p d x e^{i a x^2}$$
2. $C_2:z=p+iy \qquad y \in [0,p]$ $$J_2 = \int_{C_2} dz e^{i a z^2} = \int_0^p i d y e^{i a (p+i y)^2}$$
3. $C_3:z=x+iy = (1+i) y = \sqrt{2}e^{i\pi/4}y \qquad y \in [p,-p]$ $$\begin{align*} J_3 & = \int_{C_3} dz e^{i a z^2} = e^{i\pi/4} \int_{\sqrt{2}p}^{-\sqrt{2}p} d x e^{- a x^2} \end{align*}$$
4. $C_4:z=-p + i y \qquad y \in [-p,0]$ $$\begin{align*} J_4 & = \int_{C_4} dz e^{i a z^2} = \int_{-p}^0 i d y e^{i a (i y -p)^2} \qquad (y \Rightarrow -y) \\ & = \int_p^0 - i d y e^{i a (-i y - p)^2} = \int_0^p i d y e^{i a (i y+p)^2} \\ & = J_2 \\ \end{align*}$$

En el paso final, consideraremos el proceso de limitación:$p\rightarrow+\infty$

$$\begin{align*} & 0 \leq |J_2| \leq \left|\int_0^p i d y e^{i a (i y+p)^2}\right| \leq \int_0^p d y e^{-2 a p y} = \dfrac{1-e^{-2a p^2}}{2 a p} \\ & \lim_{p \rightarrow +\infty} \dfrac{1-e^{-2a p^2}}{2 a p} \Rightarrow \lim_{p\rightarrow+\infty} |J_2| = 0 \Rightarrow \boxed{\lim_{p\rightarrow +\infty} J_2 = \lim_{p\rightarrow +\infty} J_4 =0} \end{align*}$$ $$\begin{align*} & p\rightarrow +\infty \Rightarrow J_1+J_3=0 \Rightarrow J_1 = -J_3 = e^{i\pi/4} \int_{-\infty}^{+\infty} d x e^{- a x^2} = e^{i \pi/4} \sqrt{\dfrac{\pi}{a}} = \sqrt{\dfrac{i\pi}{a}} \\ & \Rightarrow \boxed{\int_{-\infty}^{+\infty} d x e^{i a x^2} = \sqrt{\dfrac{i\pi}{a}} \qquad (a>0)} \end{align*}$$ También se puede derivar un resultado similar para $a<0$con la ayuda del siguiente contorno cerrado.

Entonces para la integral que estás dando:

$$\begin{align} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{\dfrac{iax^2}{2}+iJx} dx = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{i \dfrac{a}{2}(x+\dfrac{J}{a})^2-i\dfrac{J^2}{2a}} dx = \sqrt{\dfrac{i2\pi}{a}}e^{-i\dfrac{J^2}{2a}} \end{align}$$

Espero eso ayude.