Campo de un cilindro con densidad de carga superficial σ=σ0cos(θ)σ=σ0cos⁡(θ)\sigma= \sigma_0 \cos(\theta)

Creo que el truco más útil para lidiar con estas situaciones es notar que, si tienes una solución$\varphi$a la ecuación de Poisson$\nabla^2 \varphi = -\rho/\varepsilon_0$, entonces puedes obtener otros nuevos aplicando las derivadas cartesianas$\partial/\partial x$etcétera. (Esto es porque$\partial/\partial x$conmuta con el laplaciano; el truco falla en coordenadas curvilíneas donde ese ya no es el caso).

Se puede ver que muchas soluciones estándar surgen de esta manera: por ejemplo, el campo de dipolo puntual se obtiene tomando el campo de carga puntual,

$$\varphi(\mathbf r) = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\frac{1}{r}, \qquad\text{obeying}\qquad \nabla^2\varphi = q\delta(\mathbf r)/\varepsilon_0,$$ y diferenciándolo con respecto a $x$, dandote $$\partial_x\varphi(\mathbf r) = -\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\frac{x}{r^3}, \qquad\text{obeying}\qquad \nabla^2\partial_x\varphi = q\partial_x\delta(\mathbf r)/\varepsilon_0,$$ dónde $\partial_x\delta(\mathbf r) = \delta'(x)\delta(y)\delta(z)$es la representación de un dipolo puntual como una densidad de carga con valor de distribución . (Los multipolos más altos también se pueden obtener de esta manera, aunque si solo usa derivadas cartesianas, deberá tener cuidado con la forma en que maneja sus combinaciones lineales).

De manera similar, el cálculo de dos esferas desplazadas tiene un origen natural en este formalismo, donde se toma como punto de partida el campo de una bola de carga uniforme:

$$\varphi(\mathbf r) = \begin{cases}\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\frac{1}{r} & r>a \\ \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0} \frac{r^2}{a^3} & r<a\end{cases}, \qquad\text{obeying}\qquad \nabla^2\varphi = \rho_0\theta(a-r)/\varepsilon_0,$$ donde ahora necesita diferenciar la función de paso de Heaviside para darle $$\frac{\partial}{\partial x} \theta(a-r) = \frac{\partial r}{\partial x} \theta'(a-r) = \frac{x}{r} \delta(a-r),$$ y la derivada interna $\partial_x r^2 = 2x$te da un potencial lineal y por lo tanto un campo eléctrico constante. (Posiblemente estoy manipulando algunas constantes. Trabaje esto en detalle para verificar que sea correcto).

Además, debería quedar claro por qué este truco derivado funciona para esta situación: si desea modelar una bola de carga uniforme centrada en$(\Delta x,0,0)$, se puede decir que es el resultado de una bola uniforme de carga en el origen más la$\sigma\propto\cos(\theta)$cosa de doble capa, o puede hacer una expansión de Taylor en$\Delta x$Llegar

$$\varphi_{\Delta x}(\mathbf r) = \varphi_{0}(\mathbf r) + \Delta x \left[ \frac{\partial}{\partial \Delta x}\varphi_{\Delta x}(\mathbf r) \right]_{\Delta x=0} + \mathcal O((\Delta x)^2),$$ donde la derivada a lo largo $\Delta x$es equivalente a una derivada a lo largo de $x$(de la misma manera que las transformaciones de marco activas y pasivas son equivalentes) y los términos despreciados en $\mathcal O((\Delta x)^2)$también se desechan en el ejemplo ondulado a mano.

OK, todo eso está bien, pero ¿cómo lo aplicas a tu cilindro? Bueno, empiezas con un cilindro uniforme de carga, y tomas la derivada de la distribución de carga y sus soluciones con respecto a una coordenada ortogonal al eje. ¡Feliz cálculo!