Estoy trabajando en una tesis que hace un gran uso de las simulaciones de dinámica molecular, y estoy tratando de entender cómo funciona el método Ewald de malla de partículas. El problema es que tengo dificultades para entender su premisa; ahora voy a explicar lo que creo que he aprendido:
Las fuerzas electrostáticas de largo alcance no convergen si se imponen condiciones de contorno periódicas; por tanto, no podemos obtenerlos sumando las interacciones por pares entre cada carga del sistema si tenemos en cuenta las imágenes periódicas de las cargas. El problema es que veo esto como un problema con serias consecuencias prácticas, y no puedo imaginar cómo podría resolverlo una reordenación matemática. Pongo un ejemplo:
Supongamos que tenemos una celda unitaria eléctricamente neutra que gana un momento dipolar eléctrico durante la simulación. Esta celda unitaria y su momento dipolar se reproducirían instantáneamente en todas las celdas de la imagen. Consideremos el potencial eléctrico en un punto arbitrario: tendría un número infinito de capas de dipolos alrededor, con un área que aumenta como ( es el radio de la capa) y la componente del dipolo del campo eléctrico disminuiría a medida que ; la suma no converge, por lo que tendríamos un potencial eléctrico infinito en cada punto! ¿Me estoy perdiendo de algo?
No puedo ver cómo PME o Ewald Summation, o cualquier otro algoritmo, pueden resolver un problema físico, a menos que de alguna manera esos métodos establezcan condiciones límite adicionales. Pero no veo cómo. ¿Puedes ayudarme a entender? Gracias de antemano.
EDITAR: Me equivoqué sobre el potencial infinito, porque hay un término de coseno en el componente dipolo que pone a cero el potencial en mi cálculo propuesto capa por capa. De todos modos, si consideramos el campo eléctrico en su lugar, lo tenemos cayendo en ; sumando el campo producido por cada capa obtenemos una serie de términos, que sigue divergiendo en el infinito, por lo que mi problema sigue sin resolverse.
Bueno, el punto de partida es el hecho de que La interacción de Coulomb que diverge en el infinito en el espacio k es solo que converge en el infinito, pero diverge en 0. Si uno toma solo las partes de ambas que convergen, entonces es posible evitar las divergencias.
¿Estás de acuerdo con esto y el problema aparece en el siguiente paso o no estás de acuerdo con este punto de partida?
De hecho, la suma de Ewald no hace que las integrales mágicamente divergentes converjan. Si intenta tomar el sistema periódico con cargas "+" y "-", la divergencia en el infinito derivada de la divergencia de Coulomb no es física: a gran distancia, la carga promedio vista por la carga de la sonda distante es cero. Sin embargo, si lo divide en partes, la energía de la interacción con las cargas "+" y "-" por separado diverge. La suma de Ewald es el truco matemático riguroso para evitar el cálculo de la interacción con "+" y "-" por separado. También se podría calcular la interacción con dipolos que no divergieran.
En su pregunta, está enfatizando el papel de las condiciones de contorno periódicas. ¿Son realmente importantes? ¿Has intentado considerar la red infinita en su lugar?
Resolví el problema. En realidad me estaba perdiendo algo. No me di cuenta de que el campo eléctrico en el centro de una capa esférica de dipolos ideales es cero. Creo que no es obvio si miras la fórmula, pero se puede demostrar usando el límite continuo e integrando en todo el caparazón. Como trabajamos con cajas de simulación neutras (por supuesto) y los otros componentes multipolares del campo eléctrico son de corto alcance, creo que podemos decir que el campo total converge. Entonces, la divergencia es un problema matemático, no físico.
Wrzlprmft