Supongamos que estamos tratando con la propagación de ondas en el dominio de la frecuencia, es decir, la propagación de ondas gobernada por la ecuación de Helmholtz. ¿Cómo se corresponden los coeficientes de reflexión y transmisión de las ondas con las condiciones de contorno de Neumann y Dirichlet en la interfaz entre dos medios?
¿Se pueden derivar los coeficientes de reflexión y transmisión sabiendo que la propagación de la onda está gobernada por la ecuación de Helmholtz y que se han especificado ciertas condiciones de frontera de Neumann o Dirichlet en una interfaz?
En una interfaz, para ondas incidentes normales, usaría una condición de contorno de Cauchy, que es tanto una condición de contorno de Neumann como de Dirichlet. En el caso de una dimensión, esto asegura que habrá una continuación única y, por lo tanto, una solución completa única. Los casos de dimensiones superiores pueden no ser tan agradables, pero por lo general todo funciona.
Ahora, según lo que agregó en los comentarios, los coeficientes de reflexión y transmisión están determinados por las condiciones de contorno, pero esas condiciones de contorno no se especifican de forma independiente. Deben coincidir con la ecuación de onda de Helmholtz especificada.
En el caso general, supondría continuidad y usaría la ecuación de onda junto con cualquier otra restricción física en su modelo (por ejemplo, en electromagnetismo) para determinar las condiciones límite exactas en la interfaz. Después de eso, resolverías la ecuación de Helmholtz sobre los volúmenes de los diferentes medios, obteniendo algún tipo de funciones armónicas. Si se separa en coordenadas cartesianas, esto conduce a ondas planas. Finalmente, haga coincidir esas diferentes soluciones usando las condiciones de contorno como se determinó anteriormente lo llevará a los coeficientes.
G. Bergeron
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