Potencial debido a un anillo cargado: Discontinuidad del campo eléctrico

Question

Potencial debido a un anillo cargado: Discontinuidad del campo eléctrico

Sagnik

Acabo de empezar con mi curso intermedio de tercer año en electrodinámica. Un problema estándar en electrostática que uno puede encontrar repetidamente es el de encontrar el potencial debido a un anillo uniformemente cargado de radio a y carga total q , en el punto P (r, θ) como se muestra en la siguiente figura.

$\\$

$\\$ Resolviendo la Ecuación de Laplace

{\vec{\nabla}}^{2} V (r, θ) = 0

$\vec \nabla^2V(r, \theta) = 0$ para este problema se obtiene

V (r, θ) = {\begin{cases} \frac{q}{4 π ϵ_{0}} \sum_{yo = 0}^{\infty} \frac{a^{yo}}{r^{yo + 1}} {PAG}_{yo} (0) {PAG}_{yo} (porque θ), & si r > a \\ \frac{q}{4 π ϵ_{0}} \sum_{yo = 0}^{\infty} \frac{r^{yo}}{a^{yo + 1}} {PAG}_{yo} (0) {PAG}_{yo} (porque θ), & si r < a \end{cases}

$V(r, θ) = \begin{cases} \frac{q}{4\pi\epsilon_{0}}\sum_{l=0}^{\infty}{\frac{a^l}{r^{l+1}}}P_{l}(0)P_l(\cos{θ}), & \text{if}\ r > a \\ \frac{q}{4\pi\epsilon_{0}}\sum_{l=0}^{\infty}{\frac{r^l}{a^{l+1}}}P_{l}(0)P_l(\cos{θ}), & \text{if}\ r < a \\ \end{cases}$ dónde

P_{l} (x)

$P_l(x)$ son los polinomios de orden de Legendre

l

$l$ dada por :

{PAG}_{yo} (X) = \frac{1}{2^{yo} yo!} \frac{d^{yo}}{d X^{yo}} (X^{2} - 1)^{yo}

$P_l(x) = \frac{1}{2^ll!}\frac{d^l}{dx^l}(x^2-1)^l$ Dado que el sistema tiene simetría azimutal, no hay dependencia de

ϕ

$\phi$ . Ahora bien, no surge ningún problema con la continuidad de

V (r, θ)

$V(r, \theta)$ en

r = a

$r = a$ , pero hay un desajuste cuando observamos las derivadas radiales izquierda y derecha de

V (r, θ)

$V(r, \theta)$ en

r = a

$r = a$ . De ahí la continuidad en la componente radial

E_{r} = - \frac{\partial V}{\partial R}

$E_r = -\frac{\partial{V}}{\partial{R}}$ del campo eléctrico se pierde en la esfera

r = a

$r = a$ . Pero nuevamente, cualquier discontinuidad en el campo eléctrico debe ser en general solo debido a una densidad de carga superficial y no hay carga en

r = a

$r = a$ cuando

θ \neq π / 2

$\theta \neq \pi/2$ . ¿Cuál debería ser la explicación física plausible para esto? ¡Gracias de antemano!

Respuestas (1)

Potencial debido a un anillo cargado: Discontinuidad del campo eléctrico

secavara · Answer 1

Primero, $E_r = -\frac{\partial V}{\partial r}$ . En segundo lugar, la discontinuidad es proporcional a $\sum^{\infty}_{l=0} (2l+1)P_l(0) P_l(\cos \theta)$ que creo que es proporcional a la expansión de $\delta(\cos\theta)$ en polinomios de Legendre.

Más precisamente, uno tiene $\delta(x)=\sum^{\infty}_{l=0} \frac{2l+1}{2}P_l(0) P_l(x)$ . La discontinuidad en la componente radial del campo eléctrico da entonces $E_{r \, \mathrm{out}}- E_{r \, \mathrm{in}}=\frac{1}{\epsilon_0} \sigma$ con $\sigma=\frac{q}{2 \pi a^2} \delta(\cos \theta)$ . Esta es exactamente la distribución de carga de superficie efectiva, ya que corresponde a la densidad de carga de volumen $\rho=\frac{q}{2\pi a} \frac{1}{a} \delta(r-a)\delta(\cos\theta) \,$ o un círculo de densidad de carga lineal $\frac{q}{2\pi a}$ .

Potencial debido a un anillo cargado: Discontinuidad del campo eléctrico

Sagnik

Respuestas (1)

secavara

Campo de un cilindro con densidad de carga superficial σ=σ0cos(θ)σ=σ0cos⁡(θ)\sigma= \sigma_0 \cos(\theta)

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