¿Cómo demuestro que la ecuación de Laplace tiene una solución única bajo la condición de contorno de superficie cerrada de Dirichlet?

El problema de la existencia es muy difícil y depende fuertemente de la regularidad que requieras en tus soluciones. clásico ($C^2$) se garantiza que existen soluciones bajo hipótesis adecuadas sobre el dominio: debe ser un conjunto abierto no vacío$\Omega$cuyo cierre$\overline{\Omega}$es compacto y el límite$\partial \Omega$es suficientemente regular como superficie. El método de las funciones de Green permite exhibir una solución.

En cambio, la singularidad es relativamente más fácil. Se basa en un conocido teorema llamado principio máximo para funciones armónicas . En adelante denoto por$\Delta$el operador laplaciano en algún momento indicado por$\nabla^2$.

TEOREMA ( principio del máximo débil para funciones armónicas )
Sea$\Omega \subset \mathbb R^n$ser un conjunto abierto no vacío cuya clausura$\overline{\Omega}$es compacto (es decir, cerrado y acotado) .

Si$f : \overline{\Omega} \to \mathbb R$satisface

(a)$f$es continua en$\overline{\Omega}$,

(b)$f \in C^2(\Omega)$,

(C)$f$es armónico en$\Omega$, eso es$\Delta f =0$en$\Omega$,

entonces

$$\max_{\overline{\Omega}} |f| = \max_{\partial\Omega} |f|$$ y además $$\max_{\overline{\Omega}} f = \max_{\partial\Omega} f\:, \quad \min_{\overline{\Omega}} f = \min_{\partial\Omega} f\:.$$

Dicho teorema tiene la siguiente consecuencia con respecto al problema de unicidad en la pregunta de OP.

COROLARIO . Dejar$\Omega \subset \mathbb R^n$ser un conjunto abierto no vacío cuya clausura$\overline{\Omega}$es compacto (es decir, cerrado y acotado) .

Existe a lo sumo una función continua$g : \Omega \to \mathbb R$tal que es$C^2(\Omega)$y satisface la ecuación de Poisson en$\Omega$:

$$\Delta g(x) = \rho(x)\:, \quad x \in \Omega\tag{1}$$ para una función continua dada$\rho : \Omega \to \mathbb R$y condiciones de contorno de Dirichlet $$g(x) = \psi(x)\:, x \in \partial \Omega\tag{2}$$ para una función continua dada$\psi : \partial \Omega \to \mathbb R$.

prueba _ Supongamos que ambos$g, g' : \overline{\Omega} \to \mathbb R$son continuos,$C^2(\Omega)$y satisface (1) y (2) para el mismo$\rho$y$\psi$. Como consecuencia,$f:= g-g'$satisface las hipótesis del TEOREMA. Por lo tanto, para cada$x\in \overline{\Omega}$,

$$0 \leq |g(x)-g'(x)| \leq \max_{\overline{\Omega}}|g-g'|= \max_{\partial \Omega}|g-g'| = \max_{\partial \Omega}|\psi-\psi| = \max_{\partial \Omega} 0 =0\:.$$ De este modo $g(x)= g'(x)$para cada $x \in \overline{\Omega}$.

QED

Como dijeron los comentarios, la solución para probar la unicidad radica en suponer dos soluciones a la ecuación de Laplace$\phi_1$y$\phi_2$satisfaciendo las mismas condiciones de contorno de Dirichlet. Entonces, demostramos que$\phi = \phi_1 - \phi_1$es cero en todo el volumen acotado por la frontera, lo que implica que$\phi_1 = \phi_2$. Nótese que por definición$\phi$es cero en el límite.

Para ello, utilizamos la identidad

$$\nabla\cdotp (\psi \nabla\phi) = \psi \nabla^2\phi +\nabla\psi \cdotp\nabla\phi$$ con $\psi = \phi$para obtener $$\int_V \phi \nabla^2\phi dV = \int_V \nabla\cdotp (\phi \nabla\phi) dV- \int_V \nabla\phi \cdotp\nabla\phi dV$$
El término de la izquierda es cero, porque por definición $\nabla^2\phi=0$sobre todo el volumen. Nos quedamos entonces con $$\int_V \nabla\cdotp (\phi \nabla\phi) dV= \int_V \nabla\phi \cdotp\nabla\phi dV=\int_V (\nabla\phi)^2 dV$$
Podemos usar el teorema de la divergencia para obtener $$\int_V \nabla\cdotp (\phi \nabla\phi) dV=\oint_C (\phi \nabla\phi)\cdotp dA$$ donde C es el límite de V. Dado que $\phi$es cero en el límite por definición, tenemos $$\int_V (\nabla\phi)^2 dV= 0$$
Dado que el integrando nunca es negativo, esto implica que $\nabla\phi = 0$en todas partes en V, lo que implica que $\phi$es una constante en todas partes en V. A su vez, dado que $\phi$es cero en el límite de V, la constante es cero y $\phi$debe ser cero en todas partes, lo que implica que $\phi_1=\phi_2$, y por lo tanto una solución única.

Por supuesto, la solución debe satisfacer todas las condiciones requeridas de "buen comportamiento" que nos permiten usar la identidad de cálculo vectorial que usé y el teorema de la divergencia. Si no recuerdo mal, se pueden usar técnicas similares para probar la unicidad de las soluciones de la ecuación de difusión y algunas otras ecuaciones de derivadas parciales.