Encontrar el máximo y mínimo global de una función dada

Encuentre el máximo global y el mínimo global de la función F en R , dónde F ( X ) = X 2 − 2 X + 4 X 2 + 2 X + 4 , X ∈ R

Mi enfoque: utilicé la prueba de derivadas de orden superior, es decir, calculé F ′ ( X ) , F ″ ( X ) , encontró los puntos donde F ′ ( X ) = 0 , y luego mostró que F ″ ( . ) es mayor o menor que 0 en esos puntos. De esta manera, encontré el máximo y el mínimo LOCAL.

Ahora, sé un resultado que si F : I → R tiene un máximo o mínimo local en un punto C ∈ I entonces C es un máximo global en norte ( C , d ) ∩ I , dónde d > 0

¿Hay alguna forma de usar este resultado para mostrar que el extremo local que encontré aquí es un extremo global en R ?

El método usado en mi libro para resolver esta suma usa supremum e infimum, y no puedo entender que funcione porque los resultados no se dan en el libro. ¿Podría alguien darme referencias (pdf o enlaces) para el máximo o mínimo global que involucre a supremum e infimum?

En general, no puede esperar ubicar extremos globales encontrando puntos críticos. Es posible que tenga muchos extremos locales pero ningún extremo global. En general, debe considerar la función completa, es decir, debe realizar un estudio cuidadoso de la función en su dominio de definición.
¿Cómo puedo hacer eso? ¿Usando supremum e infimum? ¿Puede sugerir un enlace para estudiar eso?
Por regla general, es necesario estudiar el comportamiento de la función: monotonicidad, límites en el infinito, etc.

Respuestas (2)

obtenemos 1 3 ≤ F ( X ) ≤ 3 desde 3 − F ( X ) = 2 ( X + 2 ) 2 X 2 + 2 X + 4 y F ( X ) − 1 3 = 2 3 ( X − 2 ) 2 X 2 + 2 X + 4

F ( X ) = X 2 − 2 X + 4 X 2 + 2 X + 4 = 1 − 4 X X 2 + 2 X + 4

Por eso F ( 0 ) = 1 y si X ≠ 0 ,

F ( X ) = 1 − 4 X + 4 X + 2

Dejar t = X + 4 X ∈ ( − ∞ , − 4 ] ∪ [ 4 , ∞ )

solo necesitas considerar F ( t ) = 1 − 4 t + 2 .

Ya he hecho eso. Usé la prueba de derivadas de orden superior directamente para encontrar el máximo y el mínimo LOCAL. Mi pregunta es, ¿hay alguna forma de probar que es el máximo y el mínimo GLOBAL?
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