Un monoide donde cada elemento tiene un número finito de divisores

¿Hay un nombre especial o ha habido algún estudio de monoides de esta forma? Esto surgió al considerar la construcción general de un álgebra en serie de potencias multivariante sobre un anillo. R ; usualmente tomamos el conjunto de funciones METRO → R dónde METRO es el conjunto [ I ] de multiconjuntos finitos en el conjunto índice I con suma puntual y multiplicación escalar, y define la multiplicación como ( a b ) α = ∑ β ≤ α a β b α − β , dónde α , β ∈ [ I ] , α − β es el multiconjunto formado por la eliminación de todos los elementos de β de α (con multiplicidad), y β ≤ α significa que todos los elementos en β están en α con igual o mayor multiplicidad.

Esta definición hace que todos los monomios conmuten entre sí, por ejemplo si I = { 1 , 2 } entonces X 1 2 X 2 = X { 1 , 1 , 2 } = X { 2 , 1 , 1 } = X 2 X 1 2 (dónde X { 1 , 1 , 2 } es la notación para la función de coeficiente que es 1 en { 1 , 1 , 2 } y cero en todos los demás α ∈ [ I ] ). Esto puede no ser deseable, por lo que se puede generalizar a la situación en la que ninguna de las variables conmuta, y en este caso los monomios están dados por cadenas como X 1 X 2 X 1 X 3 , es decir, tomamos METRO ser el monoide libre en I , con la multiplicación ahora definida por ( a b ) α = ∑ β γ = α a β b γ (donde la suma se toma sobre todos los valores posibles de β , γ ∈ METRO tal que β γ = α ). Esto está bien definido tanto en el monoide libre como en el monoide multiconjunto anterior (que en realidad es el monoide conmutativo libre) porque la ecuación β γ = α tiene un número finito de soluciones.

Entonces, para volver a la pregunta, ¿ha habido algún estudio o un nombre para los monoides? METRO tal que { β ∈ METRO : β ∣ α } es finito para cada α , o las álgebras en serie de potencias que resultan de tales monoides (repitiendo la construcción anterior en un monoide arbitrario en lugar de un monoide libre o un monoide conmutativo libre)?

Buena pregunta. Otro ejemplo es el monoide ( norte , × , 1 ) .
@goblin Wow, es espeluznante lo similares que son nuestras preguntas y procesos de pensamiento aquí. Cerraría esto como un tonto si tu pregunta tuviera una respuesta.
Grandes mentes piensan igual :)
Probablemente valga la pena decir lo obvio, a saber, que si intentamos declarar que cada subconjunto de un monoide es "pequeño", entonces los axiomas "cofiltro" y "monoide" se satisfacen automáticamente, por lo que nos quedamos con la "finitud". " axioma, que por supuesto es exactamente de lo que estás hablando aquí.
@goblin Sin embargo, el enfoque que describo aquí no se generaliza a la serie de Laurent, y para generalizar la colección de conjuntos de soporte acotados por debajo utilizados en la construcción de Laurent, también me dirigieron al enfoque de filtro, con exactamente los axiomas que mencionas en tu pregunta
Eso es tan cool :)
Parece haber una conexión aquí con los conjuntos bornológicos . Si agregamos a mis "axiomas de cofiltro" el requisito de que cada conjunto único sea pequeño, o de manera equivalente, que los conjuntos pequeños cubran el monoide METRO , entonces obtenemos la definición de un conjunto bornológico. Mis dos "axiomas monoides" parecen decir simplemente que la operación monoide es un "mapa acotado". No he verificado los detalles, por lo que esto podría no ser del todo correcto. Pero de todos modos, esto parece sugerir que el axioma de finitud es el único con "dientes" o sustancia reales.

Respuestas (1)

Supongo que defines la división en un monoide. METRO como sigue: v divide tu si existe X , y ∈ METRO tal que tu = X v y . En la teoría de semigrupos, esta propiedad generalmente se denota tu ⩽ j v (nótese la inversión: v ∣ tu es lo mismo que tu ⩽ j v ). La relación ⩽ j es uno de los pedidos anticipados de Green .

Se dice que un monoide es finito j -encima si, para cada tu ∈ METRO , el conjunto { v ∈ METRO ∣ tu ⩽ j v } es finito No estoy seguro de si esta fue la aparición más temprana, pero el término apareció en [1] y se ha utilizado varias veces en la literatura desde entonces.

Las series de potencias formales también se han definido en monoides graduados . Ver [2].

[1] K. Henckell, S. Lazarus, J. Rhodes, Teorema de descomposición principal para semigrupos arbitrarios: descomposición de holonomía general y teorema de síntesis. J. Aplicación pura. Álgebra 55 (1988), 127--172.

[2] Sakarovitch, Jacques. Capítulo 4: Series de potencias racionales y reconocibles. Manual de autómatas ponderados , 105--174, Monogr. teoría computar ciencia EATCS Ser., Springer, Berlín , 2009.

En realidad, defino la relación de división de modo que v divide tu si existe X tal que v X = tu . (Es una operación asimétrica, por lo que también podría llamarla "división por la izquierda".) Cometí un error en la caracterización anterior, pensé que v X = tu tiene una solución única X si existe, en cuyo caso si tu tiene un número finito de divisores se podría concluir que v X = tu tiene un número finito de soluciones ( v , X ) (que es lo que se necesita para que la multiplicación esté bien definida). De hecho, tal elemento X = tu / v se define de forma única tanto en el monoide libre como en la comunicación libre. monoide, pero no en general.
Entonces tu relación es la preorden de Green ⩽ R ...
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