¿Los escalares están a la izquierda por alguna razón?

Sentado en una conferencia de álgebra lineal grabada, noté que, por convención, los escalares siempre se colocan a la izquierda de la matriz o el vector que están multiplicando. Lo mismo tiende a hacerse en álgebra simple, donde 2 ( X + 3 ) es mucho más común notacionalmente que ( X + 3 ) 2 . A diferencia del álgebra simple (¿hay un término adecuado para el álgebra que no sea álgebra lineal?), el álgebra lineal no es conmutativa , ¡así que se me ocurrió que poner escalares a la izquierda podría significar algo !

¿Hay un significado oculto en la multiplicación escalar que siempre deja la multiplicación en álgebra lineal? ¿Está definida la multiplicación correcta por un escalar?

Nota:

Encontré un problema similar en el que el autor de la pregunta está tratando de tratar los escalares como 1-vectores, y pregunta específicamente si poner el escalar/1-vector a la derecha sería más lógico semánticamente, con respecto a los vectores y la escala como multiplicación matriz-vector , que no es realmente lo que estoy buscando aquí. Estoy más interesado en saber si hay verdades ocultas detrás de esta elección de notación, muy probablemente en la teoría de grupos por lo que parece. Personalmente, no he tomado ninguna clase formal sobre teoría de grupos, pero he buscado obsesivamente en Google y estoy fascinado por lo que me he encontrado. Puede haber alguna regla oculta en el módulo y las definiciones de espacio vectorial de la multiplicación escalar que puedo extraer de las matemáticas aquí :)

No, no hay tal significado oculto. Tenga en cuenta que, al igual que en el álgebra simple, la multiplicación por la derecha tiene el potencial de confundirse con la exponenciación. Eso es, ( X + 3 ) 2 podría confundirse fácilmente con ( X + 3 ) 2 . De manera similar, para una matriz A , A 2 parece que podría denotar A 2 o A 2 , ya que los subíndices también son muy comunes en álgebra lineal.
Si la multiplicación escalar no es conmutativa (por ejemplo, si hacemos álgebra lineal con los cuaterniones en lugar de los números reales o complejos), entonces hemos terminado en el mundo de los módulos en lugar de los espacios vectoriales y la elección del lado importa. En este contexto, de hecho, es más común considerar la multiplicación escalar como algo que se hace "desde la derecha" (es decir, considerar "la derecha"). R -módulos"). El hecho de que los módulos correctos sean más agradables es, en cierto sentido, una consecuencia de una "verdad oculta" como la que buscas.
El único argumento convincente que he escuchado para escribir la multiplicación escalar a la derecha es que la aplicación de la función se escribe a la izquierda.

Respuestas (1)

Si k es un campo, entonces poner el escalar a la izquierda o a la derecha no hace la diferencia. La convención es escribirlos a la izquierda. Si elige una base para su espacio vectorial, la multiplicación escalar se convierte en una multiplicación de campo en las coordenadas, que es conmutativa. Sin embargo, si A es un anillo no conmutativo, aunque su "espacio vectorial" (ahora llamado libre A -módulo) todavía tiene una base y la multiplicación escalar se convierte en una multiplicación de anillos en las coordenadas, esto no es conmutativo. En este entorno, la ubicación de los escalares marca la diferencia.

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