¿Hay otro nombre para el Lema de Goursat sobre subgrupos de un producto directo de grupos?

Question

¿Hay otro nombre para el Lema de Goursat sobre subgrupos de un producto directo de grupos?

Matemáticas
teoría de grupos
producto directo
álgebra abstracta
solicitud de referencia

jonathan rayner

Tengo problemas para encontrar un libro de texto que discuta el lema de Goursat sobre subgrupos de un producto directo de grupos. He buscado en varios libros de texto estándar de Álgebra y solo lo he visto en "Álgebra" de Serge Lang como ejercicio.

¿Es más comúnmente conocido por otro nombre, o quizás subsumido por un teorema más comúnmente enseñado?

Puntos de bonificación, pero no obligatorios: si no, ¿por qué no se incluye en estos textos? El producto directo es una de las primeras construcciones estándar y parece que una de las primeras preguntas que uno haría es "¿qué se sabe sobre los subgrupos de $G \times H$ ?"

Arturo Magidín

Si

K \leq G \times H

$K\leq G\times H$ , entonces

K

$K$ es un producto subdirecto de

π_{G} (K) \times π_{H} (K)

$\pi_G(K)\times\pi_H(K)$ , por lo que el Lema de Goursat se aplica a

K \leq π_{G} (K) \times π_{H} (K)

$K\leq\pi_G(K)\times\pi_H(K)$ . No hay declaración separada. En otras palabras, se subsume en sí mismo.

jonathan rayner

Por "subsumir" simplemente quise decir que tal vez el Lema de Goursat está implícito en algo más que se conoce más comúnmente. No pretendo dar a entender que no da una resolución suficientemente amplia de la pregunta que responde. Pero creo que agregaré tu punto al artículo de wikipedia, gracias.

Arturo Magidín

Sí, entendí lo que querías decir con "subsumir". Pero el lema de Goursat no es un caso especial de un teorema más general: es el teorema más general: la estructura de cada subgrupo de

G \times H

$G\times H$ se describe mediante una aplicación del lema de Goursat: es el "gráfico" de un isomorfismo de un cociente de un subgrupo de

G

$G$ con un cociente de un subgrupo de

H

$H$ .

jonathan rayner

Tal como lo entiendo, usted hace la afirmación débil de que "GL caracteriza suficientemente los subgrupos de

G \times H

$G \times H$ ", o está haciendo la afirmación fuerte "No existen o pueden existir teoremas que impliquen GL". En el caso de la afirmación débil, mi pregunta es simplemente social: acepto su punto, pero me pregunto si históricamente GL ha sido agrupado bajo algún otro conjunto de ideas y renombrado, o tiene una formulación equivalente y es por eso que no lo veo en los textos estándar. En el caso de la afirmación fuerte, creo que esto requiere prueba y sería una respuesta increíble.

Arturo Magidín

Bueno, la última afirmación sería una afirmación completamente tonta; cada teorema está implícito en un teorema más fuerte: simplemente tome los teoremas

T_{1}

$T_1$ y

T_{2}

$T_2$ y hacer el teorema"

T_{1}

$T_1$ y

T_{2}

$T_2$ ." Veo su pregunta como: "¿hay un resultado similar al Lema de Goursat que se aplica a todos los subgrupos de

G \times H

$G\times H$ , en lugar de solo los productos subdirectos?" y la respuesta es, "sí, es el Lema de Goursat en sí mismo". He escrito esto ahora. No tiene otro nombre porque es literalmente solo el Lema de Goursat, aplicado a un diferente sobregrupo

Arturo Magidín

El Lema de Goursat también se analiza en la "Teoría de grupos" de Marshal Hall, Capítulo 5, Sección 5, página 63 de la edición de Chelsea, Teorema 5.5.1, con una demostración completa. Pero no está etiquetado por su nombre.

Arturo Magidín

(Es posible que haya leído mal su pregunta... suspiro; el término genérico es "producto subdirecto", y el lema de Goursat es la descripción completa de cada producto subdirecto, que a su vez produce una descripción de cada subgrupo del producto directo)

jonathan rayner

¡Por cierto, resultó en una respuesta realmente excelente y extensa!

Respuestas (1)

¿Hay otro nombre para el Lema de Goursat sobre subgrupos de un producto directo de grupos?

Si $K\leq G\times H$ , entonces $K$ es un producto subdirecto de $\pi_G(K)\times\pi_H(K)$ , por lo que el Lema de Goursat se aplica a $K\leq\pi_G(K)\times\pi_H(K)$ . No hay declaración separada. En otras palabras, se subsume en sí mismo.
Por "subsumir" simplemente quise decir que tal vez el Lema de Goursat está implícito en algo más que se conoce más comúnmente. No pretendo dar a entender que no da una resolución suficientemente amplia de la pregunta que responde. Pero creo que agregaré tu punto al artículo de wikipedia, gracias.
Sí, entendí lo que querías decir con "subsumir". Pero el lema de Goursat no es un caso especial de un teorema más general: es el teorema más general: la estructura de cada subgrupo de $G\times H$ se describe mediante una aplicación del lema de Goursat: es el "gráfico" de un isomorfismo de un cociente de un subgrupo de $G$ con un cociente de un subgrupo de $H$ .
Tal como lo entiendo, usted hace la afirmación débil de que "GL caracteriza suficientemente los subgrupos de $G \times H$ ", o está haciendo la afirmación fuerte "No existen o pueden existir teoremas que impliquen GL". En el caso de la afirmación débil, mi pregunta es simplemente social: acepto su punto, pero me pregunto si históricamente GL ha sido agrupado bajo algún otro conjunto de ideas y renombrado, o tiene una formulación equivalente y es por eso que no lo veo en los textos estándar. En el caso de la afirmación fuerte, creo que esto requiere prueba y sería una respuesta increíble.
Bueno, la última afirmación sería una afirmación completamente tonta; cada teorema está implícito en un teorema más fuerte: simplemente tome los teoremas $T_1$ y $T_2$ y hacer el teorema" $T_1$ y $T_2$ ." Veo su pregunta como: "¿hay un resultado similar al Lema de Goursat que se aplica a todos los subgrupos de $G\times H$ , en lugar de solo los productos subdirectos?" y la respuesta es, "sí, es el Lema de Goursat en sí mismo". He escrito esto ahora. No tiene otro nombre porque es literalmente solo el Lema de Goursat, aplicado a un diferente sobregrupo
El Lema de Goursat también se analiza en la "Teoría de grupos" de Marshal Hall, Capítulo 5, Sección 5, página 63 de la edición de Chelsea, Teorema 5.5.1, con una demostración completa. Pero no está etiquetado por su nombre.
(Es posible que haya leído mal su pregunta... suspiro; el término genérico es "producto subdirecto", y el lema de Goursat es la descripción completa de cada producto subdirecto, que a su vez produce una descripción de cada subgrupo del producto directo)
¡Por cierto, resultó en una respuesta realmente excelente y extensa!

Arturo Magidín · Answer 1

El lema de Goursat se encuentra en varios libros de texto de teoría de grupos, pero no siempre por su nombre.

Aparece en el clásico The Theory of Groups de Marshal Hall . En la edición de AMS Chelsea Publications, es el Teorema 5.5.1 en las páginas 63-64, y aparece en el índice bajo "producto subdirecto". Aparece en la Teoría de grupos clásica de WR Scott en la Sección 4.3, " Productos subdirectos ", como el enunciado etiquetado como 4.3.1 (págs. 71, Prentice Hall, impresión de 1964). Aparece en el Álgebra de Hungerford , pero en la sección sobre Anillos, que discute la irreductibilidad subdirecta, y generalmente hay una discusión sólida del concepto en los libros sobre Álgebra Universal cuando se discuten las representaciones subdirectas; por ejemplo, el Álgebra Universal de Gratzer .

El Lema de Goursat no es un caso especial de un teorema más general que describe subgrupos de un producto directo: es el teorema general que describe subgrupos de un producto directo. Puede que no lo parezca a primera vista, pero realmente lo es.

Para ser explícito, aquí está el Lema de Goursat:

Lema de Goursat. Dejar $G$ y $H$ ser grupos, y dejar $K$ ser un producto subdirecto de $G$ y $H$ ; eso es, $K\leq G\times H$ , y $\pi_G(K)=G$ , $\pi_H(K)=H$ , dónde $\pi_G$ y $\pi_K$ son las proyecciones sobre el primer y segundo factor, respectivamente, de $G\times H$ . Dejar $N_1=K\cap\mathrm{ker}(\pi_G)$ y $N_2=K\cap\mathrm{ker}(\pi_H)$ . Entonces $N_2$ se puede identificar con un subgrupo normal $N_G$ de $G$ , $N_1$ se puede identificar con un subgrupo normal $N_H$ de $H$ , y la imagen de $K$ en $G/N_G\times H/N_H$ es la gráfica de un isomorfismo $G/N_G \cong H/N_H$ .

Otra forma de pensar en el Lema de Goursat es que comenzamos con un cociente $G/N$ de $G$ , y un cociente $H/M$ de $H$ . Si $\varphi\colon G/N\to H/M$ es un isomorfismo, entonces $\varphi$ induce un subgrupo de $G\times H$ , por

k_{φ} = {(gramo, h) \in GRAMO \times H ∣ φ (gramo norte) = h METRO} .

$K_{\varphi} = \{ (g,h)\in G\times H\mid \varphi(gN) = hM\}.$ No es difícil comprobar que

K_{φ}

$K_{\varphi}$ es un producto subdirecto de

G \times H

$G\times H$ , y el lema de Goursat es el enunciado de que todo producto subdirecto de

G \times H

$G\times H$ surge de esta manera:

Lema de Goursat (reformulación). Dejar $G$ y $H$ ser grupos, dejar $N\triangleleft G$ , $M\triangleleft H$ , y deja $\varphi\colon G/N\to H/M$ sea un isomorfismo. Entonces $\varphi$ da lugar a un subgrupo
$k_{φ} = {(gramo, h) \in GRAMO \times H ∣ φ (gramo norte) = h METRO}$ $K_{\varphi} = \{ (g,h)\in G\times H\mid \varphi(gN) = hM\}$ con $\pi_G(K_{\varphi}) = G$ y $\pi_H(K_{\varphi}) = H$ . Además, todo producto subdirecto de $G\times H$ (cada $K\leq G\times H$ con $\pi_G(K)=G$ y $\pi_H(K)=H$ ) surge de esta manera.

Ahora deja $K$ ser un subgrupo arbitrario de $G\times H$ , no necesariamente un producto subdirecto. ¿Qué podemos decir sobre $K$ ? Bueno, podemos aplicar el Lema de Goursat, pero no a $G\times H$ , sino más bien a $\pi_G(K)\times\pi_H(K)$ . Es decir, cualquier subgrupo de $G\times H$ es un producto subdirecto de un subgrupo de $G\times H$ que es de la forma $G_1\times H_1$ , con $G_1\leq G$ y $H_1\leq H$ . Y así podemos aplicar el Lema de Goursat a $K\leq G_1\times H_1$ .

Entonces el Lema de Goursat produce lo siguiente:

Lema de Goursat para subgrupos arbitrarios de un producto directo. grupos dados $G$ y $H$ , si $G_1\leq G$ , $H_1\leq H$ , $N\triangleleft G_1$ , $M\triangleleft H_1$ , y $\varphi\colon G_1/N \to H_1/M$ es un isomorfismo, entonces $\varphi$ da lugar a un subgrupo de $G\times H$ , "la gráfica de $\varphi$ ", por
$k_{φ} = {(gramo, h) \in GRAMO \times H ∣ gramo \in {GRAMO}_{1}, h \in H_{1}, φ (gramo norte) = h METRO} .$ $K_{\varphi} = \{ (g,h)\in G\times H\mid g\in G_1, h\in H_1, \varphi(gN)=hM\}.$ Además, cada subgrupo de $G\times H$ surge de esta manera.

Creo que su primera declaración del lema de Goursat puede estar equivocada. me parece $N_2=\ker(\pi_G:K \to G)$ sería un subgrupo normal de $H$ , no $G$ .
Los índices de @EthanDlugie se invirtieron en una de las oraciones. Gracias. Fijado.

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Arturo Magidín

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