Extensión del grado de Brouwer Lema

Si$y$es un valor regular para ambos$f$y$F$entonces$F^{-1}(y)$es una variedad unidimensional cuyo límite es$F^{-1}(y) \cap \partial X = F^{-1}(y) \cap M = f^{-1}(y)$. Desde$X$es compacto y$F^{-1}(y)$está cerrado, se sigue que$F^{-1}(y)$es compacto La clasificación de variedades unidimensionales compactas con frontera implica que son una unión finita de intervalos cerrados (para los cuales la frontera consta de dos puntos) y círculos (que no tienen frontera) y dado que la frontera de$F^{-1}(y)$Miente en$M$, los intervalos cerrados (arcos) de$F^{-1}(y)$, si los hay, deben comenzar y terminar en$M$.

La siguiente generalización del teorema de los valores regulares es estándar:

Dejar$F:X \rightarrow N$con$X$una variedad con límite no vacío y$N$una variedad con límite (quizás vacía). Si$y \in N - \partial N$es un valor regular para ambos$F$y$F|_{\partial X}$entonces$F^{-1}(y)$es una subvariedad pura de$X$, donde una subvariedad ordenada$A$de$X$es una subvariedad tal que$\partial A = \partial X \cap A$. Puede encontrar este teorema, por ejemplo, en "Topología diferencial" de Hirsch, Capítulo 1, Teorema 4.2.

Por lo tanto, en tu situación, donde se satisfacen las hipótesis del lema, tienes que$F^{-1}(y)$es una subvariedad unidimensional ordenada con límite de$X$. En particular, el límite de$F^{-1}(y)$se encuentra en$\partial X = M$. El resto se sigue, como dijiste, de la compacidad y el hecho de que las únicas variedades unidimensionales compactas con límite son el círculo y el intervalo cerrado.