el límite geométrico de una variedad

Dejar X ser una variedad topológica con límite geométrico ∂ gramo X (aquí el subíndice gramo para indicar un límite geométrico que es una noción diferente del límite topológico ∂ t X ).

¿Alguien puede indicar un ejemplo de una variedad? X tal que ∂ gramo X ≠ ∅ y ∂ gramo X ≠ ∂ t X ?

Recuerde que el límite geométrico es el conjunto de puntos pag ∈ X que tienen un barrio norte pag ⊂ X homeomorfo al semiplano superior cerrado, mientras que en la definición del límite topológico consideramos X como un subconjunto de un espacio más grande Y , eso es X ⊆ Y , y luego definirlo como el conjunto de puntos pag ∈ Y que tiene un barrio norte pag ⊂ Y que contiene al menos un punto de X y al menos un punto de Y − X .

Creo que el límite topológico ∂ t X me queda claro ya que depende del conjunto Y elegimos y la topología que le ponemos. Pero tengo confusión con respecto al límite geométrico, ya que parece depender solo de la variedad X . Lo que entiendo de la definición es que ∂ gramo X está contenido en X a diferencia de los puntos límite topológicos que pueden o no pertenecer a X . En esta nota , página 1, ejemplo 4, justo antes de la proposición 1.3 dice que [ 0 , 1 ) es un 1 -variedad con límite geométrico { 1 } mientras 1 ∉ [ 0 , 1 ) ¡¡Gracias por tu aclaración!!

Respuestas (2)

Bueno... puede que solo sea un error tipográfico... A mi entender, [ 0 , 1 ) es una variedad 1 (¡ con límite !) y su límite geométrico es 0 .

Otro ejemplo es la franja con 2 círculos como límite (geom.) o la franja de Moebius con 1 círculo como límite (geom.).

Y, en general, un norte -la variedad con límite se define como un espacio superior tal que todos sus puntos tienen vecindarios abiertos homeomorfos a un subconjunto abierto del semiespacio superior...

¿No podrías reemplazar "homeomorfo por R norte o al semiespacio superior" por "homeomórfico a un subconjunto abierto del semiespacio superior"?
excepto en una dimensión donde también permitimos ( − ∞ , 0 ] como medio espacio. Bueno, algunos libros. Y, apuesto a que el medio espacio superior es una conveniencia de la notación. Cualquier conjunto homeomorfo debería ser suficiente.
@JamesS.Cook: Estoy un poco confundido por tu comentario. ¿Quieres decir que puedes usar cualquiera ( − ∞ , 0 ] o [ 0 , ∞ ) en la definición, o que tienes que usar ambos? No creo que sea lo último porque los dos espacios son homeomorfos a través del mapa. ϕ : [ 0 , ∞ ) → ( − ∞ , 0 ] , ϕ ( X ) = − X . Habiendo dicho eso, puede que me esté perdiendo algo.
@MichaelAlbanese No puedo encontrar el libro en este momento, pero, si la memoria no me falla, la convención de permitir ambos en el caso unidimensional era reducir el desorden en ciertos argumentos. Trataré de encontrar el libro y le daré una cotización más específica cuando regrese a mi oficina.
@MichaelAlbanese mi alumno cree que está en Conlon, pero no puedo encontrarlo... lo siento.

Dejar Y = [ 0 , ∞ ) con la topología del subespacio heredada de R . Entonces X = [ 0 , 1 ) es un subconjunto abierto de Y y tiene límite topológico { 1 } . Sin embargo, el límite geométrico de X es { 0 } ≠ { 1 } .

Tenga en cuenta que el límite topológico de una variedad topológica X no tiene sentido en general. En primer lugar, X no se puede dar como un subespacio de algún otro espacio topológico Y (otro que Y = X ) y si intenta fabricar uno, puede haber diferentes opciones para Y , algunos de los cuales pueden dar respuestas diferentes. Por ejemplo, si hubiera elegido Y = R con su topología habitual, entonces X tendría límite topológico { 0 , 1 } .

El punto que Micheal está tratando de hacer es que cuando hablas de variedades topológicas, piensas en ellas (la mayoría de las veces) como no incrustadas en ningún espacio, es por eso que la definición de ∂ S = S ¯ ∖ S ∘ para los subespacios topológicos no tiene sentido: una variedad existe por sí misma, no solo si está incrustada.
@Michael Albanes: No, como un subespacio de [ 0 , ∞ ) , ∂ t [ 0 , 1 ) = { 1 } y, de manera más general, un subconjunto abierto no necesita tener un límite vacío ... todo lo que sabemos es que no contiene todos sus puntos de límite topológicos
@palio: Tienes razón, cualquier barrio de 1 contiene puntos de ambos X y Y ∖ X . Yo (equivocadamente) solo estaba considerando puntos en el límite de X que también estaban en X . Editaré en consecuencia.
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