Topología de subvariedades de variedades con límite

Dejar$X$ser un compacto$n$-manifold con límite$\partial X$y deja$U$ser una subvariedad de$X$tal que$\partial U=\partial X\cap U$. por qué$X-U-\partial U$está abierto en$X$? sé que el límite topológico$\partial A$de un subconjunto$A$siempre está cerrada ya que es la intersección de la clausura de$A$y el cierre de$X-A$pero aquí estamos hablando del límite geométrico de una variedad que es diferente del límite topológico. También pienso por la definición que$\partial X$es un$(n-1)$-subvariedad de$X$pero no se si$\partial X$siempre esta cerrado? Por otro lado, sé que un subconjunto abierto de la variedad$X$es una subvariedad, es cierto lo contrario, quiero decir, ¿tenemos que cada subvariedad de$X$está abierto en$X$? gracias por tus aclaraciones