Un ejemplo de un sistema cuántico para el cual la función de Wigner cambia a valores negativos

La función de Wigner es la transformada de Fourier en una variable de la matriz de densidad para la partícula individual$\rho(x,y)$. Si transformas Fourier en y, obtienes la función de Wigner$\rho(x,p)$. Esto es importante de entender, porque explica por qué la función de Wigner es interesante y por qué obedece a una dinámica simple. También muestra que no tiene una interpretación de probabilidad fuera del límite clásico, porque solo los elementos de la matriz de densidad en diagonal son probabilidades.

Pregunta 1: ¿es posible que la densidad de Wigner sea negativa después de comenzar positiva?

La respuesta es sí para un potencial general, pero para el caso especial de un oscilador armónico, la respuesta es no, porque la evolución del tiempo simplemente rota el espacio de fase. Para el otro caso especial de una partícula libre, una función de onda gaussiana simplemente se propaga a una gaussiana más amplia, por lo que tampoco es posible allí. Por esta razón, tiene dificultades para obtener un ejemplo.

También es cierto que semiclásicamente, el movimiento es a lo largo de la trayectoria clásica, con cortante de acuerdo con el cambio de período con el aumento de J. Entonces, si una matriz semiclásica de Wigner es positiva cerca de una única trayectoria no caótica, no se volverá negativa, cerca de la trayectoria, al menos no durante mucho tiempo.

Pero es muy fácil alejar cualquier tipo de densidad de Wigner del régimen semiclásico.

Pregunta 2: ¿Qué pasa con la interpretación de "densidad de probabilidad en el espacio de fase"?

Esta interpretación es defectuosa. La matriz de densidad es solo una probabilidad para elementos en diagonal. Entonces, la transformada de Fourier de la densidad de Wigner en x o p tiene una interpretación de densidad de probabilidad diagonal en todo momento, pero la función de Wigner en la posición x, p no es nada. Es solo una codificación complicada de elementos de matriz fuera de la diagonal que no es particularmente especial o útil, lejos del límite semiclásico.

Para ver que no es bueno, considere un estado de onda plana, cuya densidad de espacio de fase de Wigner es el perfil de onda plana multiplicado por una función delta en un cierto valor de p. Si dispersa cualquier bulto en ondas planas aproximadas, el estado final de la dispersión es un montón de cosas complejas que no tienen interpretación como una probabilidad de espacio de fase.

La interpretación adecuada de la densidad del espacio de fase de Wigner es que es una transformada de Fourier de la matriz de densidad, nada más.

Las veces que la función de Wigner es positiva no significa que deba interpretarse como una distribución de probabilidad. (¿De qué eventos sería la distribución de probabilidad ? Ciertamente no es una medida conjunta borrosa de posición y momento, por ejemplo, con estados coherentes; esa es la función Husimi Q).

¿Existe un sistema simple (con suerte, un estado basado en un oscilador armónico simple) para el cual la densidad de Wigner pasa de ser positiva definida a ser negativa en ciertas regiones?

Las únicas funciones de Wigner no negativas para estados puros son mezclas de paquetes de ondas gaussianas puras. Los hamiltonianos cuadráticos (como el oscilador armónico simple) conservan la gaussianidad de los estados puros, por lo que la función de Wigner nunca se vuelve parcialmente negativa después de comenzar como no negativa, o viceversa.

Por otro lado, los hamiltonianos no cuadráticos no tienen esta propiedad. Entonces, casi cualquier hamiltoniano no cuadrático que saque de un sombrero en general destruirá y creará una positividad estricta. Sin embargo, realmente no está sucediendo nada profundo, porque no debería tomar una interpretación de probabilidad de la función de Wigner de ninguna manera; se llama distribución de cuasiprobabilidad por una razón.

La interpretación probabilística de la función de Wigner ya es defectuosa al nivel de los axiomas de Kolmogorov, incluso para valores incesantemente positivos. Es decir, dos puntos en el espacio fase dentro de una distancia menor que$\hbar$no son contingencias de espacio muestral mutuamente excluyentes.

En el lenguaje de la física, estos dos puntos no son distinguibles de ninguna manera permitida por Heisenberg-UncPrncp, y ya están "borrosos" juntos --- ¡los valores negativos para la función de Wigner están presentes o no! La falta de semidefinición positiva del WF no es el principal impedimento para una interpretación probabilística estricta, un error que se repite a menudo en las discusiones sobre el Husimi y que conduce a errores más adelante.

Todos los WF restringen automáticamente la variación del espacio de fase para exceder$\hbar$(cf. Ref. 1), ya sea que tengan regiones negativas o no, por lo que todos son inmunes a interpretaciones probabilísticas estrictas. Sin embargo, "hacen el trabajo" de las distribuciones de probabilidad: sirven para proporcionar la medida del espacio de fase a las integrales que producen valores esperados para los observables.

Los valores negativos de la WF son en realidad una ventaja importante en la formulación del espacio de fase , y no una desventaja, ya que aseguran la ortogonalidad * de diferentes estados (observación de Wigner, op cit). Además, son un sello distintivo de confianza de la interferencia cuántica. Son, por supuesto, "pequeños" en términos de áreas de espacio de fase, aproximadamente del orden de unos pocos$\hbar$s. (Esto es evidente al convolucionar con una gaussiana de ancho mayor que$\hbar$, donde un teorema asegura que la transformada de Weierstrass resultante debe ser semidefinida positiva. En consecuencia, charcos hipotéticos de valor negativo uniforme mayores que unos pocos$\hbar$s produciría valores negativos cuando se convolucionara con una gaussiana positiva más pequeña; lo cual está excluido por el teorema anterior: tales charcos no pueden existir).

Referencias:

1. Thomas L. Curtright, David B. Fairlie y Cosmas K. Zachos, A Concise Treatise on Quantum Mechanics in Phase Space, World Scientific, 2014. El archivo PDF está disponible aquí .