Sobre la definición de valor esperado en mecánica cuántica

Ya que quieres un poco de rigor matemático:

Un estado cuántico es un operador de clase de traza positivo autoadjunto en un espacio de Hilbert con traza 1. Esto se denomina matriz de densidad$\rho$. En su forma más simple, dado$\psi\in \mathscr{H}$,$\rho$es el proyector ortogonal en el subespacio atravesado por$\psi$. Dejar$E_\rho(\cdot):D_\rho\subset\mathcal{A}(\mathscr{H})\to \mathbb{R}$Sea el mapa definido como:

$$E_\rho(A)=\mathrm{Tr}(A\rho)\; ,$$ dónde $\mathcal{A}(\mathscr{H})$es el espacio de los operadores autoadjuntos, $\mathrm{Tr}$es el rastro en $\mathscr{H}$y $$D_\rho=\{A\in \mathcal{A}(\mathscr{H})\; ,\; \mathrm{Tr}\lvert A\rho\rvert<+\infty\}\; .$$ El mapa $E_\rho(\cdot)$tiene todas las propiedades de una expectativa en la teoría de la probabilidad. No sé si es posible caracterizar la medida. $\mu$asociado a él (quizás por medio de las medidas valoradas de proyección asociadas a $\rho$por el teorema espectral, pero no es sencillo al menos para mí).

$$<\hat{A}> = \int \psi^*(x)\hat{A}\psi(x) dx$$ ahora $\hat{A}\psi(x)=a(x)\psi(x)$entonces, $$<\hat{A}>=\int a(x)|\psi(x)|^2dx$$ Dejar $|\psi(x)|^2dx = d \mu$ahora $\int|\psi(x)|^2dx=\int d\mu = 1$ $$<\hat{A}> = \int a(\mu)d\mu$$

Hay dos respuestas a esto. Una respuesta simplemente señala que la probabilidad del j-ésimo resultado especificado por la regla de Born$p_j = tr(\rho\hat{P}_j)$, dónde$\hat{P}_j$es el proyector sobre el j-ésimo resultado, satisface los axiomas de probabilidad:

http://mathworld.wolfram.com/ProbabilityAxioms.html .

Otra respuesta es que la regla de Born se puede explicar utilizando la teoría de la decisión:

http://arxiv.org/abs/0906.2718 .

Los observables están asociados con operadores lineales, no con funciones medibles, entonces, ¿cómo podemos hablar sobre la expectativa de un operador lineal?

La "esperanza de un operador lineal" es un término de la teoría cuántica. Se define por la integral

$$\int \psi^*(x)\hat{A}\psi(x) dx$$ o similar. El significado de este número no es necesariamente el mismo que el de la expectativa en la teoría ordinaria de la probabilidad.

Este número se ha utilizado en el sentido de valor real, valor real promedio, valor real promedio esperado, valor promedio esperado de resultados de mediciones u otros. Aunque hay acuerdo sobre la utilidad de las fórmulas básicas, el concepto de probabilidad y especialmente la probabilidad en la teoría cuántica conlleva muchos enigmas sobre los que no existe un acuerdo universal.

Y los libros de texto de mecánica cuántica usan expectativas y variaciones sin mencionar los espacios de probabilidad subyacentes. ¿Utiliza la mecánica cuántica algo más que la teoría ordinaria de la probabilidad?

La gente usa muchas reglas, algunas cuánticas, algunas de la teoría ordinaria de la probabilidad, para obtener probabilidades. Estos no siempre son compatibles. Entonces la gente interpreta estas probabilidades de manera diferente. Desafortunadamente, hay mucha confusión en esto.

Usemos la notación bra-ket. Supongamos que el operador$\hat A$tiene valores propios discretos y acotados$\mathcal A =\{A_1, A_2, \ldots\}$con autoconsumo$|A_1\rangle, A_2\rangle,\ldots$. Los autos forman un conjunto ortogonal completo ya que$\hat A$es simétrico Entonces cualquier ket$|\psi\rangle$se puede ampliar,

$$|\psi\rangle = \sum \psi_n |A_n\rangle.$$ Desde el $|A_n\rangle$son ortogonales, $$\langle \psi |\psi \rangle =\sum \psi_n^* \psi_n = \sum |\psi_n|^2 = 1.$$ claramente el mapa $$\mu_\psi : 2^\mathcal{A} \to \mathbb{R}^+$$ definido en singletons por $$\mu_\psi : \{A_n\} \mapsto |\psi_n|^2$$ y extendido por aditividad define una medida en el $\sigma$-álgebra de subconjuntos de $\mathcal A$. Desde $\mu_\psi(\mathcal A) = 1$, es una distribución de probabilidad. Al expandirse $\langle \psi |A |\psi\rangle$puede ver que esta cantidad es de hecho el valor esperado de la distribución, definida en el sentido habitual.

Para un espectro continuo o ilimitado, las sumas se convierten en integrales. Pero hay que tener más cuidado, ya que dicho operador no está definido en todo el espacio de Hilbert y puede no tener funciones propias en el espacio de Hilbert (por ejemplo, el operador de momento y los operadores de posición son así; sus funciones propias no son$L^2$). Pero con un poco de esfuerzo se pueden repetir los pasos formales anteriores.

Uno puede usar mazos más abstractos como en otra respuesta para hacer que la correspondencia sea obvia por definición, pero creo que esta explicación es más fácil para un estudiante principiante.