¿Cuál es la interpretación física de la matriz de densidad en una base continua doble |α⟩|α⟩|\alpha\rangle, |β⟩|β⟩|\beta\rangle?

(a) Cualquier libro de texto da la interpretación de la matriz de densidad en una sola base continua | α ⟩ :

  • Los elementos diagonales ρ ( α , α ) = ⟨ α | ρ ^ | α ⟩ dan las poblaciones.

  • Los elementos fuera de la diagonal ρ ( α , α ′ ) = ⟨ α | ρ ^ | α ′ ⟩ dar las coherencias.

(b) Pero, ¿cuál es la interpretación física (si la hay) de la matriz de densidad ρ ( α , β ) = ⟨ α | ρ ^ | β ⟩ para una base continua doble | α ⟩ , | β ⟩ ?

Sé que cuando la base doble son la posición y el impulso, entonces ρ ( pag , X ) se interpreta como una pseudo-probabilidad . Puedo confesar que nunca he entendido completamente el concepto de pseudoprobabilidad [*] , pero me gustaría saber si esta interpretación física como pseudoprobabilidad se puede extender a una base continua arbitraria. | α ⟩ , | β ⟩ para operadores que no viajan α ^ , β ^ y como probabilidad para conmutar los.

[*] Especialmente porque ρ ( pag , X ) está acotado y no puede ser 'pico'.

EDITAR: Para evitar más malentendidos, estoy agregando algunos antecedentes. Los promedios cuánticos se pueden obtener de forma continua. | α ⟩ como

⟨ A ⟩ = ∫ d α ⟨ α | ρ ^ A ^ | α ⟩

(a) Introducir el cierre en la misma base | α ⟩

⟨ A ⟩ = ∫ d α ∫ d α ′ ⟨ α | ρ ^ | α ′ ⟩ ⟨ α ′ | A ^ | α ⟩ = ∫ d α ∫ d α ′ ρ ( α , α ′ ) A ( α ′ , α )

con la interpretación física habitual para la matriz de densidad ρ ( α , α ′ ) como se discutió anteriormente.

(b) Introducir el cierre en una segunda base | β ⟩ , obtenemos la representación alternativa

⟨ A ⟩ = ∫ d α ∫ d β ⟨ α | ρ ^ | β ⟩ ⟨ β | A ^ | α ⟩ = ∫ d α ∫ d β ρ ( α , β ) A ( β , α )

Cuando las dos bases son impulso | pag ⟩ y posición | X ⟩ la densidad ρ ( pag , X ) es la conocida función de Wigner cuya interpretación física es la de una pseudoprobabilidad. Mi pregunta es sobre la interpretación física de ρ ( α , β ) en dos bases arbitrarias | α ⟩ , | β ⟩ .

Una interpretación es que son probabilidades complejas, ver iopscience.iop.org/1367-2630/14/4/043031/pdf/… .
@PiotrMigdal ¡Excelente artículo! La idea de una probabilidad conjunta tiene sentido. Lo estudiaré más.

Respuestas (3)

Las probabilidades tienen un significado físico solo en un contexto donde la medición es posible. Entre estados de una base de puntero en un contexto de medición, los elementos de matriz de una matriz de densidad tienen el significado probabilístico estándar.

En cualquier otra base, son solo expresiones matemáticas intermedias a otros cálculos de interés. (No daría un centavo por los intentos de interpretarlos en términos de pseudoprobabilidades no físicas).

¡Gracias! La parte sobre las medidas parece muy relacionada con mi comentario sobre la punta de la función de Wigner, pero mi objetivo no era discutir aquí el concepto de pseudoprobabilidad sino saber si se puede extender más allá de la base de la posición del momento. Además, su respuesta parece evitar los casos en que los operadores viajan diariamente. Mi creencia es que esas serían probabilidades verdaderas en lugar de pseudo. ¿Estoy equivocado?
@juanrga: Si, pero tu los llamaste X y pag , que no viajan. - Usted había preguntado acerca de una interpretación de pseudo-probabilidad. Esto es algo significativo en el caso de Wigner porque uno puede tomar el límite cásico donde resultan las probabilidades del espacio de fase. Pero para las bases generales, uno no tiene tal interpretación limitante.
Bueno, me referí a " base continua arbitraria α y β " y dije que estaba interesado en ambos casos cuando los operadores conmutan y cuando no. Pregunté sobre una interpretación de pseudo-probabilidad para los operadores que no conmutan y sobre la interpretación " como probabilidad para los que conmutan ". Utilicé X y pag solo como ejemplo ilustrativo. No sigo su argumento sobre el límite clásico (la función de Wigner no se reduce a las probabilidades clásicas del espacio de fase), pero gracias.

Su declaración sobre una interpretación de pseudoprobabilidad está un poco fuera de lugar, ya que ciertamente no escribió la distribución de cuasiprobabilidad de Wigner en su edición.

Tomando sus dos bases para ser X y pag para la especificidad, lo que escribiste, ρ ( X , pag ) , hasta una fase: mi ( i X pag / ħ ) , es la "prescripción de pedido estándar" para funciones de cuasi-distribución, a menudo mal llamada "prescripción de Mehta" , introducida por Terletski en 1937 y Blokhintsev en 1940, cf. Ejercicio 0.19 de Ref 1 disponible en línea aquí .

De hecho, su valor esperado en b) es precisamente la ecuación de Blokhintsev (11') a través de su (5), ¡o la ecuación de Terletsky (18)!

Su ρ ( X , pag ) está, sin embargo, conectado a la distribución de cuasi-probabilidad de Wigner a través del kernel provisto en ese ejercicio, --y en el artículo original de Moyal donde fue descubierto en los años 40.

Tiene toda la razón en que la distribución de Wigner, y por lo tanto la estándar, están acotadas, por lo que impiden la localización completa y violan el axioma de Kolmogorov sobre distintas alternativas disjuntas para diferentes puntos en el espacio de fase, sus argumentos, por lo que su interpretación es algo metafórica, como recuerda cualquiera que esté familiarizado con la cuantización del espacio de fase, día y noche y durante las horas crepusculares de complejidad.

Sin embargo, su búsqueda de una interpretación física es un poco abierta: las personas en óptica cuántica escriben rutinariamente expresiones formalmente similares con operadores de creación y aniquilación, o integrales espaciales de Bargmann-Segal y enfatizan la analogía obvia con el espacio de fase que escribió. ¿Por qué no sigues las fórmulas y obtienes los resultados correctos en lugar de estirar analogías fantasiosas y peligrosas? Blokhintsev pagó muy caro por intentar hacer eso, de hecho...

Ref 1: Thomas L. Curtright, David B. Fairlie y Cosmas K. Zachos, Un tratado conciso sobre mecánica cuántica en el espacio de fase , World Scientific, 2014,

Estoy leyendo tu tratado, ¡es muy bonito!

Cómo es ⟨ α | ρ ^ | β ⟩ diferente de ⟨ α | ρ ^ | α ′ ⟩ ? Ambas representaciones son independientes de la base, es decir, puede elegir cualquier base de su elección (posición, impulso, lo que sea).

Si su pregunta se refiere al hecho de que a veces es útil usar dos índices en lugar de uno para enumerar los estados (como el giro y el impulso), tenga en cuenta que puede combinarlos fácilmente en un índice (que posiblemente sea multidimensional). ) y que de manera similar puede dividir cualquier índice de base única en múltiples índices debería resolver su problema.

| α ⟩ y | α ′ ⟩ son dos elementos de la misma base. | α ⟩ y | β ⟩ son dos elementos de dos bases diferentes.
¿No se supone que la representación de Dirac sea independiente de la base? Sin mencionar que tener dos bases diferentes en la expresión (multiplicación de matrices) tampoco tiene mucho sentido para mí.
(i) La independencia de la base no significa que la interpretación física permanezca sin cambios en cualquier representación y estoy preguntando precisamente sobre la interpretación física de la matriz de densidad. ρ ( α , β ) . (ii) No debe tener mucho sentido para usted, pero como se indica en la pregunta original ρ ( pag , X ) se interpreta como una pseudo-probabilidad en los libros de texto.
¿Cuál es la interpretación física de la matriz de densidad en una base continua doble |α⟩|α⟩|\alpha\rangle, |β⟩|β⟩|\beta\rangle?
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