Comprender la relación entre las distribuciones de espacio de fase (Wigner vs Glauber-Sudarshan P vs Husimi Q)

Permítanme recopilar la mayoría de mis comentarios en una respuesta que intenta ser más coherente que ellos, o su pregunta lábil. De hecho, está acumulando tres preguntas diferentes, lógicamente distintas, pero con conexiones fuertes y naturales, por lo que podría valer la pena separarlas antes de volver a juntarlas en la coda final.

• Primero, existe el espacio simple de Hilbert,$|x\rangle$, o$|p\rangle$, cuyo espacio de parámetros es un espacio de fase simple, con parámetros$x$y$p$, valores propios de los respectivos operadores. Luego está el espacio Fock de operadores de creación y aniquilación, donde ahora$\alpha$es un parámetro complejo, valor propio del operador de aniquilación en estados coherentes, con su complejo conjugado$\alpha^*$, a menudo se dice que comprende el espacio de fase óptica . Son equivalentes , pero los estados coherentes demasiado completos tienen superposiciones gaussianas entre sí, y las conversiones requieren un cuidado excesivo. Básicamente, en unidades naturales$\hbar=1$, las superposiciones con estados propios de posición son paquetes de ondas de Schroedinger gaussianos,
  

  $$\langle x | \alpha\rangle= \frac{1}{\pi^{1/4}} ~ e^{\sqrt{2}\alpha x - x^2/2- \alpha \Re (\alpha)}~.$$

• En segundo lugar, las transformadas seleccionadas de la matriz de densidad ρ al espacio de fase a través de la transformada de Wigner, o la transformada de Glauber-Sudarshan, o la transformada de Husimi, producen las funciones de distribución de cuasiprobabilidad equivalentes W, P o Q. Las tres transformadas equivalentes se diferencian por las ordenaciones de operadores involucradas en las funciones características de las distribuciones: ordenación de Weyl, ordenación normal u ordenación antinormal, respectivamente. Q es una transformada de Weierstrass invertible , una convolución con una gaussiana, de W, como puede encontrar en los libros estándar: Medición del estado cuántico de la luz , Ulf Leonhardt, capítulo 3.2; o Quantum Optics in Phase Space , de Wolfgang Schleich; o el nuestropág.58. Estos libros optan por variables de espacio de fase, x y p , donde todo es fácil y las conversiones de equivalencia entre ellas son sencillas. (La sistemática general de conversión de un parámetro entre ellos se llama " teoría de clasificación de Cohen ").

Pero si debe trabajar en el espacio de fase óptico, que realmente no me encanta, para comparar manzanas con manzanas, necesita la función W representada, esquemáticamente, no en la forma de espacio de fase que tiene, sino como el valor esperado de Royer del operador de paridad, es decir, como algo así como

$$W(\alpha)= \frac{1}{\pi^2}\int d^2 z ~ \operatorname{tr}(\rho e^{iz(\widehat{a} -\alpha) +iz^*(\widehat{a}^{\dagger}-\alpha^*)} ).$$ Entonces, como ven aquí , a fuerza de los ordenamientos en sus funciones características, estas representaciones están todas interrelacionadas también a través de las transformadas de Weierstrass, ahora en el espacio de fase óptica, $$W(\alpha,\alpha^*)= \frac{2}{\pi} \int P(\beta,\beta^*) e^{-2|\alpha-\beta|^2} \, d^2\beta$$ $$Q(\alpha,\alpha^*)= \frac{2}{\pi} \int W(\beta,\beta^*) e^{-2|\alpha-\beta|^2} \, d^2\beta ,$$ o, usando la asociatividad de convoluciones, $$Q(\alpha,\alpha^*)= \frac{1}{\pi} \int P(\beta,\beta^*) e^{-|\alpha-\beta|^2} \, d^2\beta ~.$$

• En tercer lugar, los méritos relativos de cada variante son aproximadamente estos. W es mejor para el espacio de fase simple: allí, es el único que no necesita un producto estrella en las integrales de valor esperado, el análogo del sistema de coordenadas cartesianas. Sin embargo, si no se requieren cadenas múltiples de productos estrella (¡solo!) hay un truco conveniente , el teorema de equivalencia óptica , para potenciar Ppara calcular valores esperados para operadores de orden normal, en el espacio de estados coherentes, sin estrellas; pero las cosas van terriblemente mal si se trata de cadenas de productos estrella. Por lo tanto, el usuario debe ordenar cuidadosamente todo antes de calcular. Q hace lo mismo para los operadores ordenados antinormales (¡si te los encuentras y no los ordenaste fácilmente!). Entonces, en cierto modo, su concepto erróneo está bien fundado: vale la pena usar W en el espacio de fase simple y posiblemente P en el espacio de fase óptica, aunque no sea necesario.

Un comentario de despedida: a menudo, y de manera bastante equivocada, las personas contrastan las propiedades de tales distribuciones, dando algo al hecho de que Q es semidefinido positivo, lo que implica, de nuevo, erróneamente, que puede "por lo tanto" acercarse más a servir como una probabilidad de buena fe. distribución. Esta es una ilusión peligrosa, ya que, en primer lugar, los valores esperados en el espacio de fase simple con Q pero sin productos estrella son simplemente incorrectos (son aproximaciones semiclásicas incontrolables). Con los productos estrella, son correctos: simples cambios disfuncionales de variables de la imagen de Wigner, ya que todo lo anterior, como vimos, son cambios glorificados de variables e imágenes.

Lo más importante, por último pero no menos importante, todo lo anterior no puede ser distribuciones de probabilidad, incluso si son semidefinidas positivas, al fallar el tercer axioma de Kolmogorov sobre la contingencia disjunta de diferentes puntos en el espacio de parámetros (fase): el principio de incertidumbre le dice dos puntos x,p y x',p' se confunden por el principio de incertidumbre si están lo suficientemente cerca en$\hbar$unidades (aquí, 1). De hecho, el principio de incertidumbre asegura que los charcos sólidamente negativos de W sean pequeños en unidades de área de$\hbar$, como se detalla en nuestro libro, citado anteriormente. Ahora y para siempre, estas, las tres, son simplemente distribuciones de cuasi-probabilidad.