Derivación de distribuciones de probabilidad a partir de la distribución de Wigner

La pregunta bien podría ser demasiado amplia. Uno puede, por supuesto, reconfigurar las variables x y p en diferentes, e integrar con la "irrelevante", por ejemplo, la variable angular en el espacio de fase, para producir una distribución de cuasi-probabilidad marginal en la otra, por ejemplo, la variable angular al cuadrado. ,$(x^2+p^2)/2$que resulta ser el símbolo de Weyl (variables reescaladas) del operador de energía para el oscilador, cf. Árbitro. 1. donde un múltiplo de esta variable se denomina z , y he aquí las cifras correspondientes.

Pero recuerde que un WF para cada estado puro tendrá un único *-genvalue E (idéntico al valor propio del operador correspondiente ordenado por Weyl en ese estado), por lo que un pico δ en su distribución nocional wrt energy: una línea espectral aguda , no es una distribución de probabilidad. La cuasi-distribución en z que ha resultado no es una distribución de probabilidad (¡los polinomios de Laguere para el oscilador toman valores negativos!) y no representa la distribución que está imaginando, aunque las aplicaciones de tomografía cuántica de WF utilizan dichas construcciones.

Si lo usó para encontrar la expectativa de z , recuperaría la E anterior , por supuesto: un valor, no una distribución.

Un WF diferente con una característica E diferente replicaría lo anterior con un pico centrado en un valor diferente. Suponga que tiene una superposición de 2 estados de energía ortogonales, a y b . Por supuesto, la WF en estado puro correspondiente producirá una combinación lineal única de las dos energías propias en su valor esperado de la energía observable, tal como en el espacio de Hilbert.

Supongamos ahora que tiene un estado mixto de estos 2 estados, correspondiente a una matriz de densidad diagonal de 2x2 para ellos. Esta es una distribución de buena fe de los 2 estados, con los coeficientes diagonales positivos A y B que representan las probabilidades respectivas de los dos estados con las dos energías. Entiendo que está trazando A y B en su eje y nocional y$E_a$,$E_b$en su eje x . Es trivial transcribir esto a la cuantización del espacio de fase, a través de un WF de la forma$Af_{aa}+Bf_{bb}$. Ahora puede generalizar a un número arbitrario de estados, incluido un continuo de ellos para un espectro continuo. Pero el WF de estado mixto nunca le dará algo más que su correspondiente matriz de densidad de imagen de Weyl. ¡Por sí misma, la formulación del espacio de fase no resolverá el problema espectral del operador!

¿Puede especificar sobre qué estados está oscilando para producir la distribución de probabilidad buscada? Temo que las variaciones del espacio de fase desenfoquen el problema en lugar de agudizarlo. La forma más sencilla de reformular su pregunta podría ser reformularla en el espacio de Hilbert con matrices de densidad ρ y operadores, y luego sería un juego de niños reformularla en lenguaje de espacio de fase.

Referencias:

1. Thomas L. Curtright, David B. Fairlie y Cosmas K. Zachos, A Concise Treatise on Quantum Mechanics in Phase Space, World Scientific, 2014. El archivo PDF está disponible aquí .