Interpretación probabilística matemática de la amplitud de probabilidad

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Interpretación probabilística matemática de la amplitud de probabilidad

justin salomon

Como advertencia, vengo de un entorno de "matemáticas aplicadas" sin casi ningún conocimiento de física. Dicho esto, aquí está mi pregunta:

Estoy viendo la posibilidad de usar funciones de amplitud de probabilidad para representar distribuciones de probabilidad en superficies. Desde mi perspectiva, una función de amplitud de probabilidad es una función $\psi:\Sigma\rightarrow\mathbb{C}$ satisfactorio $\int_\Sigma |\psi|^2=1$ para algún dominio $\Sigma$ (por ejemplo, una superficie o parte de $\mathbb{R}^n$ )-- ¡Obviamente estos son algunos de los principales objetos manipulados en la física cuántica! En otras palabras, $\psi$ es una función compleja tal que $|\psi|^2$ es una función de densidad de probabilidad en $\Sigma$ .

Desde este punto de vista puramente probabilístico, ¿es posible entender por qué múltiples $\psi$ 's puede representar la misma densidad de probabilidad $|\psi|^2$ ? ¿Cuál es la interpretación física más genérica?

Es decir, si escribo cualquier función $\gamma:\Sigma\rightarrow\mathbb{C}$ con $|\gamma(x)|=1\ \forall x\in\Sigma$ , entonces $|\psi\gamma|^2=|\psi|^2|\gamma|^2=|\psi|^2$ , y por lo tanto $\psi$ y $\psi\gamma$ representan la misma distribución de probabilidad en $\Sigma$ . Entonces, ¿por qué esta redundancia es matemáticamente útil?

mitchell portero

Si empiezas con la función de onda

ψ γ

$\psi\gamma$ , y la desarrollamos de acuerdo con una ecuación de Schrödinger, la distribución de probabilidad asociada se desarrollará de manera diferente a la que se obtiene simplemente comenzando con

ψ

$\psi$ , y evolucionando de acuerdo con la ecuación de Schrödinger. Entonces

ψ

$\psi$ y

ψ γ

$\psi\gamma$ son estados físicamente diferentes. (La única excepción es si

γ (x)

$\gamma(x)$ es igual para todos

x

$x$ .) En cuanto a por qué la física funciona de esta manera, nadie lo sabe.

justin salomon

Si estas dos funciones de onda evolucionan de manera diferente, deben ser significativas de diferentes maneras, a pesar de que ambas generan la misma distribución.

| ψ |^{2}

$|\psi|^2$ . Supongo que estoy tratando de averiguar el significado de esta información adicional y ver si hay una razón puramente matemática por la que debería estar allí en lugar de recurrir a un experimento o un ejemplo o configuración física en particular.

Arnold Neumaier

Con su experiencia, es posible que esté familiarizado con los cuaterniones. En esencia, estas son solo las funciones de onda para un solo giro o un sistema de 2 niveles. Se necesitan todos los grados de libertad complejos para describir el estado. Ver en.wikipedia.org/wiki/Bloch_sphere y en.wikipedia.org/wiki/Hopf_fibration

Respuestas (2)

Interpretación probabilística matemática de la amplitud de probabilidad

Si empiezas con la función de onda $\psi\gamma$ , y la desarrollamos de acuerdo con una ecuación de Schrödinger, la distribución de probabilidad asociada se desarrollará de manera diferente a la que se obtiene simplemente comenzando con $\psi$ , y evolucionando de acuerdo con la ecuación de Schrödinger. Entonces $\psi$ y $\psi\gamma$ son estados físicamente diferentes. (La única excepción es si $\gamma(x)$ es igual para todos $x$ .) En cuanto a por qué la física funciona de esta manera, nadie lo sabe.
Si estas dos funciones de onda evolucionan de manera diferente, deben ser significativas de diferentes maneras, a pesar de que ambas generan la misma distribución. $|\psi|^2$ . Supongo que estoy tratando de averiguar el significado de esta información adicional y ver si hay una razón puramente matemática por la que debería estar allí en lugar de recurrir a un experimento o un ejemplo o configuración física en particular.
Con su experiencia, es posible que esté familiarizado con los cuaterniones. En esencia, estas son solo las funciones de onda para un solo giro o un sistema de 2 niveles. Se necesitan todos los grados de libertad complejos para describir el estado. Ver en.wikipedia.org/wiki/Bloch_sphere y en.wikipedia.org/wiki/Hopf_fibration

Arnold Neumaier · Answer 1

Diferentes funciones de onda con el mismo $|\psi(x)|^2$ representar diferentes estados físicos (a menos que sean proporcionales). Diferentes estados significa que uno obtiene diferentes resultados medibles en al menos un tipo de medidas.

Lo mismo $|\psi(x)|^2$ da la misma densidad de probabilidad para mediciones de posición (solo), pero generalmente no para mediciones de otros observables como el momento. Para la densidad de probabilidad de momento, los cuadrados absolutos de la transformada de Fourier cuentan, y esto suele ser diferente si solo el $|\psi(x)|^2$ son lo mismo.

El contenido matemático de la función de onda es el siguiente (del cual se sigue lo anterior): El producto interno de $\psi$ con $A\psi$ da el valor esperado del operador $A$ para un sistema en estado $\psi$ . Por ejemplo, si tomas $A$ ser la multiplicación por la función característica de una región en $R^3$ obtienes la probabilidad de estar en esa región. El operador de posición es simplemente la multiplicación por $x$ , mientras que el operador momento es un múltiplo de diferenciación.

Para profundizar más, pruebe mi libro en línea http://lanl.arxiv.org/abs/0810.1019 , escrito para matemáticos sin ningún conocimiento previo en física.

Entonces la función $\psi$ de alguna manera codifica la posición y la velocidad/momento? Entiendo que son estados diferentes, pero no tengo claro cómo "leer" los diferentes estados. ¿Qué sabemos acerca de la partícula en $x$ con respecto a la partícula en $y$ si $\psi(x)=1$ y $\psi(y)=\frac{\sqrt{2}}{2}(1+i)$ ? ¿Hay alguna explicación matemática para lo que está pasando?
@JustinSolomon: Nada. La función de onda es $L^2$ , lo que significa que solo se define hasta cambios arbitrarios en un conjunto de medida cero. Necesitas tener $\psi(x)$ es una vecindad completa de un punto para deducir información mínima.
Gracias por publicar el enlace a su libro. Se parece más a un idioma que podría hablar, así que lo descargué y lo miraré en un vuelo más tarde hoy.

N. Virgo · Answer 2

La redundancia es útil porque, aparentemente, las fases tienen un significado físico y las fases relativas realmente marcan una diferencia en las probabilidades en algunas situaciones. Por ejemplo, considere un experimento simplificado de dos rendijas. Tenemos un emisor de fotones, que dispara un fotón hacia dos rendijas. Detrás de las dos rendijas hay un detector, que disparará o no disparará. (Si no se dispara, pensamos que el fotón "perdió" el detector y fue absorbido por otra cosa). También tenemos la opción de intentar detectar por cuál de las rendijas pasó el fotón, o no intentarlo. y haz esto

Dejar $E$ significa "se emite un fotón", $D$ significa "el detector de incendios" $S_i$ representan "el fotón fue detectado pasando a través de la rendija $i$ ." Si tratamos de detectar por qué rendija pasó el fotón, la probabilidad de que el detector dispare es

pag (D | mi) = pag (S_{1} | mi) pag (D | S_{1}) + pag (S_{2} | mi) pag (D | S_{2}),

$p(D|E) = p(S_1|E)p(D|S_1) + p(S_2|E)p(D|S_2),$ como cabría esperar de la teoría elemental de la probabilidad. Si queremos, podemos definir formalmente un número complejo

a (X | Y)

$a(X|Y)$ para cada par de eventos, tal que

p (X | Y) = | a (X | Y) |^{2} .

$p(X|Y) = |a(X|Y)|^2.$ Hay cierta redundancia en esta definición porque cualquier elección de fase da la misma probabilidad. Ahora tenemos

pag (D | mi) = | a (S_{1} | mi) a (D | S_{1}) |^{2} + | a (S_{2} | mi) a (D | S_{2}) |^{2} .

$p(D|E) = |a(S_1|E)a(D|S_1)|^2 + |a(S_2|E)a(D|S_2)|^2.$ Tenga en cuenta que esta es una notación completamente no estándar que no encontrará en ninguna parte, pero es una forma perfectamente razonable de expresar el formalismo de la integral de ruta para este tipo de sistema simplificado.

Si no tratamos de detectar por qué rendija pasó el fotón, para que permanezca aislado durante todo su viaje, entonces es un poco diferente. Ahora resulta que en lugar de la expresión anterior tenemos

pag (D | mi) = | a (S_{1} | mi) a (D | S_{1}) + a (S_{2} | mi) a (D | S_{2}) |^{2},

$p(D|E) = |a(S_1|E)a(D|S_1) + a(S_2|E)a(D|S_2)|^2,$ para alguna elección particular de los números $a(S_i|E)$ y $a(D|S_i)$ definido arriba . Tenga en cuenta que esto puede ser mayor o menor que el "clásico"

p (D | E)

$p(D|E)$ , dependiendo de las fases relativas de

a (S_{1} | E) a (D | S_{1})

$a(S_1|E)a(D|S_1)$ y

a (S_{2} | E) a (D | S_{2})

$a(S_2|E)a(D|S_2)$ . Por lo tanto, las diferentes fases conducen a diferentes predicciones físicas, y parte del poder de la teoría cuántica es que realmente te dice estas fases relativas.

Este argumento muestra que debe haber alguna interpretación física de las fases, pero no te dice cuál es realmente esa interpretación física . Me temo que no sé la respuesta a esa pregunta.

Esta es una explicación muy clara de algunos de los fenómenos que tenía problemas para entender, ¡gracias! Como mencionas, la segunda y tercera ecuaciones para $p(D|E)$ arrojan valores diferentes, siendo el tercero el resultado de no intentar detectar la rendija. ¿Hay una explicación probabilística que se esconde aquí? Por ejemplo, ¿que la segunda ecuación en realidad está condicionada de alguna manera por haber hecho una observación, lo que agrega o elimina algún grado de independencia probabilística?
Tenga en cuenta que las fases relativas tienen significado, pero las fases absolutas no. Sin embargo, este no es el único lugar en la física donde uno puede elegir un punto de partida arbitrario, y la gente generalmente no se molesta con el "¿Por qué?" de eso
¿Pero con suerte hay al menos una explicación para la fase relativa?
@JustinSolomon sí, supongo que la primera y la segunda expresión deberían ser para $p(D|E,M)$ y el tercero para $p(D|E,\neg M)$ , dónde $M$ es un booleano que es verdadero si realizó la medición de la rendija por la que pasó el fotón, y falso si no. Entonces la tercera expresión es en realidad $pag (D | mi, \neg METRO) = | a (S_{1} | mi, METRO) a (D | S_{1}, METRO) + a (S_{2} | mi, METRO) a (D | S_{2}, METRO) |^{2},$ $p(D|E,\neg M)= |a(S_1|E,M)a(D|S_1,M) +a(S_2|E,M)a(D|S_2, M)|^2,$ con el rhs condicionado a $M$ en vez de $\neg M$ para indicar que el $a$ Los mismos no dependen de si se realizó la medición.
@JustinSolomon en términos de explicación, el problema es que el desarrollo histórico de QM principalmente tomó la forma de personas que hacían conjeturas descabelladas sobre cómo realizar los cálculos, que de alguna manera convergieron rápidamente en un formalismo muy exitoso que nadie sabía cómo interpretar correctamente. La actitud de la mayoría de los físicos hoy en día es "cállate y calcula" (es decir, no es trabajo de un físico preocuparse por el significado real de las ecuaciones) o palabras en el sentido de que no se necesita interpretación y que el formalismo de QM ya contiene todo lo que necesitas. saber de fisica
No todos están de acuerdo con una de las posiciones anteriores (yo ciertamente no), y la interpretación de QM es un campo pequeño pero muy activo en la actualidad. Sin embargo, es realmente difícil, y no hay nada como un consenso.
¡Interesante! Esto hace que sea bastante difícil para los tipos de matemáticas aplicadas evaluar si es útil para nuestra propia investigación :-). Me pregunto si hay alguien que proporcione una introducción a la física cuántica puramente probabilística, más o menos en el espíritu de este documento: scottaaronson.com/democritus/lec9.html
@JustinSolomon aprendió mucho de lo que sé del curso de enredos cuánticos de Leonard Susskind , disponible en YouTube. Asume menos antecedentes matemáticos que los que tiene, pero es bastante bueno para concentrarse en la estructura matemática en lugar de la física, y podría ser lo que está buscando.

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