U(1)×U(1)U(1)×U(1)U(1){\times}U(1) derivada de invariancia de calibre local

En QED y el mecanismo básico de Higgs, hay una transformación de calibre local donde un campo escalar$\phi$se transforma como:

$e^{i\theta\eta(x)} \phi$

Sin embargo, la derivada parcial de esto hace que lo anterior no sea invariante, por lo que se introduce una derivada covariante de esta manera:

$D_\mu e^{i\theta\eta(x)} \phi$=$(\partial_\mu- i \theta A_\mu)$$e^{i\theta\eta(x)} \phi$

Entonces, la derivada permanece invariante. Sin embargo, ¿qué sucede si el campo escalar se transforma mediante DOS simetrías U(1) como esta:

$e^{i\lambda_1\eta_1(x)} e^{i\lambda_2\eta_2(x)} \phi$

Esta puede ser una transformación de simetría extraña, pero me pregunto cómo se haría la derivada de este invariante de esta manera:

$e^{i\lambda_1\eta_1(x)} e^{i\lambda_2\eta_2(x)} D_\mu \phi$

Porque la derivada ahora es de tres funciones diferentes que se diferencian por la regla del producto así:

$f'(x)g(x)h(x)$+$g'(x)f(x)h(x)$+$h'(x)f(x)g(x)$

Así, la derivada de la función sería:

$i \lambda_1 \eta_1' (x)e^{i\lambda_1\eta_1(x)} e^{i\lambda_2\eta_2(x)} \phi$+$i \lambda_2 \eta_2' (x)e^{i\lambda_2\eta_2(x)} e^{i\lambda_1\eta_1(x)} \phi$+$(\partial_\mu \phi) e^{i\lambda_1\eta_1(x)} e^{i\lambda_2\eta_2(x)}$

Entonces, ¿cómo se aplicaría la derivada de invariancia de calibre local en esta situación? ¿Se introduciría otro campo de calibre como$B_\mu$junto con$A_\mu$?