Fijación de calibres Faddeev-Popov en electromagnetismo

Una simetría de calibre significa que las ecuaciones de movimiento no determinan únicamente la evolución de todas las variables de configuración, es decir, que el sistema de Euler-Lagrange está subdeterminado. El ejemplo canónico es el caso de la electrodinámica clásica, donde las ecuaciones de movimiento son

$$\begin{equation} (\partial^2\delta^\mu_\nu-\partial^\mu\partial_\nu)A_\mu=0\tag1 \end{equation}$$

Cualquier configuración del formulario$A_\mu=\partial_\mu\Lambda$, por arbitrario$\Lambda=\Lambda(x)$, resuelve trivialmente estas ecuaciones, lo que significa que dada una solución$A$, La configuración$A+\partial\Lambda$también es una solución. Por lo tanto, la solución a las ecuaciones de movimiento no es única, el sistema está subdeterminado y existe una simetría de calibre. Incluso si arreglamos$\Lambda=0$en la superficie donde se dan las condiciones iniciales, la función$\Lambda$puede ser distinto de cero en cualquier momento posterior y, por lo tanto, ambos$A$y$A+\partial \Lambda$resolver las ecuaciones de movimiento y satisfacer las condiciones iniciales.

Cuando el sistema está subdeterminado, el sistema no tiene una función de Green bien definida, ya que si esta última existiera, el sistema podría evolucionar desde sus condiciones iniciales hasta una solución única en un momento posterior. En este sentido, una teoría de calibre no tiene propagador. En el caso clásico esto no plantea ningún problema, pero en el caso de la mecánica cuántica es un desastre, por las razones habituales (que no resumiremos aquí).

El análisis general de los sistemas de calibre se puede encontrar, por ejemplo, en la ref.1, que animamos a OP y a cualquier persona interesada a leer. En resumen, la piedra angular de la teoría es el segundo teorema de Noether, que se puede resumir como una identidad fuera de la cáscara de la forma

$$\begin{equation} D^i\mathrm{EL}_i[\varphi]\equiv 0\tag2 \end{equation}$$ dónde $\mathrm{EL}$es el operador de Euler-Lagrange, y $D$es un determinado campo vectorial que genera la simetría de norma. Este teorema implica que las ecuaciones de Euler-Lagrange no son todas independientes y, por lo tanto, el sistema está subdeterminado, como se mencionó anteriormente.

Por supuesto, cualquier transformación de la forma

$$\begin{equation} D^i=T^{ij}\mathrm{EL}_j,\qquad\text{with}\qquad T^{ij}=-T^{ji}\tag3 \end{equation}$$ trivialmente satisface eq.2. Estas transformaciones, a veces llamadas sesgadas , no se deben considerar como verdaderas transformaciones de calibre; cualquier sistema los posee y no lo subdeterminan. Si todas las simetrías de calibre están sesgadas, las ecuaciones de movimiento determinan la evolución de manera única y el sistema admite un propagador; la teoría de la mecánica cuántica es segura y saludable (dejando de lado las posibles ambigüedades de Gribov como se menciona en los comentarios).

Considere, por ejemplo, una teoría escalar con ecuaciones de movimiento

$$\begin{equation} (\partial^2+m^2)\phi=0\tag4 \end{equation}$$

Este sistema es invariante bajo$\phi\to\phi+\psi$, dónde$\psi(x)$es cualquier función que satisfaga

$$\begin{equation} (\partial^2+m^2)\psi=0\tag5 \end{equation}$$

¿Es esta transformación una simetría de calibre? ¡Por supuesto que no! Esta transformación es trivial, en el sentido de que es meramente una manifestación del carácter lineal de las ecuaciones de movimiento. Si$\psi$es cero en la superficie donde se dan las condiciones iniciales, entonces será cero en cualquier momento posterior, porque$\psi$está obligado a satisfacer$(\partial^2+m^2)\psi=0$. La transformación$\phi\to\phi+\psi$no representa una redundancia, porque$\psi$está obligado a satisfacer una ecuación cuya solución es única; fijación$\psi$en una superficie de Cauchy fija esta función en cualquier momento posterior, por lo que no representa un nuevo grado de libertad.

Considere ahora nuestro ejemplo inicial, las ecuaciones de movimiento de la electrodinámica, pero ahora introduzcamos el calibre de Lorentz,$\partial\cdot A\equiv0$. Las ecuaciones de movimiento leen

$$\begin{equation} \partial^2A=0,\qquad\partial\cdot A=0\tag6 \end{equation}$$ cuya solución ahora es única: el sistema no tiene grados de libertad de calibre más que los que son triviales. Por supuesto, el sistema es invariante bajo transformaciones de la forma $A\to\partial \Lambda$, dónde $\Lambda$está obligado a satisfacer $\partial^2\Lambda=0$, pero esto es similar a nuestro ejemplo anterior: si $\Lambda$es cero en la superficie donde se especifican las condiciones iniciales, seguirá siendo cero en cualquier momento posterior, porque está obligado a satisfacer $\partial^2\Lambda=0$. Esta "simetría de calibre residual" es trivial en lo que respecta al segundo teorema de Noether, en el sentido de que no hace que el sistema sea subdeterminado; la solución al sistema de Euler-Lagrange es única y el propagador está bien definido; la teoría de la mecánica cuántica es segura y saludable.

Usted puede argumentar que si el Lagrangiano de la teoría de calibre fijo es invariante bajo$\delta A=\partial \Lambda$, con$\partial^2\Lambda=0$, entonces la integral funcional debe divergir, porque hay direcciones en el espacio de configuración donde el Lagrangiano es constante. Convénzase usted mismo de que este no es el caso comparando esta invariancia con la discutida antes, la invariancia bajo$\delta\phi=\psi$con$(\partial^2+m^2)\psi=0$. La integral funcional de un campo escalar no es divergente a pesar de esta invariancia, y la razón es precisamente el hecho de que el segundo teorema de Noether no se aplica: la invariancia es trivial y no conduce a un sistema indeterminado de ecuaciones de movimiento. En un sentido heurístico, se puede decir que la condición$\partial^2\Lambda=0$es lo suficientemente restrictiva como para que la transformación$\delta A=\partial\Lambda$tiene medida cero en el espacio de configuraciones de campo -- no contribuye a la integral funcional.

Referencias

1. DeWitt, El enfoque global de la teoría cuántica de campos, capítulos 2-6.