¿Puede una transformación de calibre electromagnético ser imaginaria?

El hamiltoniano de una partícula cargada no relativista en un campo magnético es

H ^   =   1 2 metro [ ℏ i ∇ → − q C A → ] 2
.

Bajo una transformación de calibre del potencial magnético:

A →   →   A → + ∇ → x ,

la función de onda de la partícula se transforma como

Ψ   →   Ψ Exp ⁡ ( i q x ℏ C ) .

Cuando x es real, la función de onda simplemente gana un factor de fase adicional. Sin embargo cuando x es imaginario, hay un cambio medible en la función de onda. Esto parece contradecir el hecho de que el campo magnético es invariable bajo la transformación de calibre. ¿Cómo resuelvo esto?

Aquí se da una buena explicación .

Respuestas (4)

x es una función de valor real. Esto es parte de la definición de la transformación de calibre, ya que tu ( 1 ) es un grupo unidimensional (real). En general, cuando se habla de transformaciones de calibre en física de partículas, los parámetros de grupo están restringidos a ser reales por convención.

En principio, supongo que podría realizar una transformación en la función de onda que se parece a una tu ( 1 ) transformación de calibre excepto que el parámetro puede ser complejo. Pero el grupo resultante de transformaciones no sería tu ( 1 ) , sería algún grupo bidimensional, porque un número complejo parametriza dos dimensiones.

Entonces, ¿no podemos tener un indicador imaginario aunque el campo magnético resultante sea el mismo? ¿Está esto relacionado con cómo el potencial magnético es más fundamental que el campo magnético, como lo que ha demostrado el efecto Aharanov-Bohm?
La razón por la cual la transformación de calibre se define como lo es no es porque sea la transformación más general que permite que el campo magnético sea el mismo, porque obviamente no lo es. Es la transformación más simple que permite la invariancia de calibre local. Solo necesitas un grado (real) de libertad para hacer la derivada covariante. En principio, podría tener múltiples grados de libertad en la transformación de calibre, pero no se ha encontrado que sea necesario para el electromagnetismo. (Eso cambia una vez que introduces las fuerzas débil y fuerte).
Sugerencia a la respuesta (v1): Enfatice que el grupo Lie tu ( 1 ) es una variedad con el número de dimensiones reales igual a uno.
@Qmechanic Edité, mira lo que piensas.

x puede ser cualquier función razonable, de valor real, de valor imaginario, lo que sea. Ningún cambio de variable puede cambiar la física, aunque la nueva función de onda y su nueva ecuación pueden ser diferentes de las anteriores ;-)

Elabora por favor. Nunca he visto un indicador imaginario.
@KarsusRen: la transformación de indicador es una introducción de nuevas variables A → ′ y Ψ ′ , ¿no es así? Cuando x es real, las nuevas ecuaciones tienen la misma forma que las antiguas, pero las soluciones son numéricamente diferentes. El caso de lo imaginario x no es diferente en este aspecto del caso o de uno real.

Puede usar transformaciones de calibre electromagnético con complejos, en lugar de reales x . Sin embargo, no creo que sean tan útiles como las transformaciones con x , porque si x no es real, las ecuaciones de movimiento cambian, por lo que no hay invariancia de calibre (ver, por ejemplo, Eqs. 20,21 de mi artículo en el European Physical Journal C (acceso libre, http://download.springer.com/static /pdf/480/art%253A10.1140%252Fepjc%252Fs10052-013-2371-4.pdf?auth66=1381456528_6b6a376576161b4f3d18182317776008&ext=.pdf ), donde las ecuaciones de movimiento después de un calibre se transforman con un complejo x (que es igual a α de mi artículo, hasta un factor constante) se escriben para el campo de Dirac interactuando con el campo electromagnético. Para evitar confusiones, consulte la nota entre las ecuaciones. 16 y 17).

Permítanme señalar también que el campo magnético no cambia bajo una transformada de calibre con un complejo x .

Creo que porque las funciones de onda deben normalizarse para que ψ ∗ ψ representa la probabilidad o la densidad de probabilidad de encontrar la partícula, por lo que su amplitud no puede escalar arbitrariamente. Es por eso que el campo de calibre solo puede ser real.

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