Ward Identity y Proca Fields

Question

Ward Identity y Proca Fields

Física
teoría de calibre
identidad de barrio
invariancia de calibre
teoría cuántica de campos
electrodinámica-cuántica

Miero Patteucci

Estoy siguiendo el libro Quantum Field Theory and the Standard Model de Schwartz y llegué a la prueba rigurosa no perturbativa de la identidad de Ward con integrales de trayectoria a través de las ecuaciones de Schwinger-Dyson en las subsecciones 14.8.1-3. Dado que para mí está claro que la prueba de la identidad Ward-Takahaski es la "versión cuántica" del truco de Noether, no entiendo el paso de la identidad Ward-Takahashi a la identidad "estándar" de Ward. Esto último puede pensarse como una consecuencia directa de que los fotones no tienen masa/polarización longitudinal, pero la demostración seguida por Schwartz no parece excluir el caso de un bosón vectorial masivo. Sin embargo, este rompe la invariancia de calibre con su masa (o de nuevo, de manera equivalente, admite un grado de libertad longitudinal $p_\mu M^\mu=0$ para una amplitud genérica $M^\mu$ . ¿Dónde estoy equivocado?

Andrés

"la prueba seguida por Schwartz parece no excluir el caso de un bosón vectorial masivo" --> ¿Puede dar más detalles aquí? ¿Qué versión de la identidad de Ward crees que se aplica a los campos vectoriales masivos? En la formulación habitual, existe una restricción (de segunda clase) que elimina el componente temporal (no longitudinal), pero no la simetría de calibre ni la identidad de Ward. También como un consejo amistoso, ayudaría mucho usar MathJax (similar a LaTeX) para formatear las matemáticas en su pregunta, aquí hay un tutorial: math.meta.stackexchange.com/q/5020

Miero Patteucci

Gracias por el tip, soy nuevo así que espero que no te importe si en este tema sigo escribiendo con el texto normal. Para completar, me refiero a Schwartz 14.8.1 14.8.2 y 14.8.3. Creo que la eliminación del componente temporal es válida tanto para los campos de Proca como para los de Maxwell. Por ejemplo, considere el proceso e(-)e(+)->u(-)u(+) a nivel de árbol: reemplazar kukv en el propagador de Proca y Maxwell me dará cero en ambos casos. Pero si uso la identidad de Ward en un proceso que involucra bosones vectoriales externos, cuando reemplazo la polarización con pu, no veo de dónde viene la invariancia de calibre para matar a puMu

Andrés

Bueno, es una buena idea aprender MathJax temprano y en realidad solo se usa el margen de beneficio de LaTeX mientras escribe, por lo que recomiendo usarlo, pero puedo seguir lo que está escribiendo más o menos. No hay invariancia de indicador para un campo de indicador masivo (a menos que use el truco de Stuckelberg). El numerador del propagador es

η_{μ ν} + p_{μ} p_{ν} / m^{2}

$\eta_{\mu\nu}+p_\mu p_\nu / m^2$ ; si contratas esto con

p^{μ}

$p^\mu$ usted obtiene

p_{ν} - (m^{2} / m^{2}) p_{ν} = 0

$p_\nu - (m^2/m^2)p_\nu = 0$ ; esta propiedad se deriva de la restricción de segunda clase y es responsable de eliminar el modo similar al tiempo.

Miero Patteucci

Aprenderé lo antes posible. Estoy familiarizado con lo que está diciendo, pero luego diría: tome la dispersión de Compton (esto significa que no hay propagadores de vectores internos) pero considere Proca en lugar de Maxwell e intente reemplazar una polarización externa con el impulso. Aquí no tenemos invariancia de norma (prevista como simetría local U(1) del lagrangiano que proviene de tener m=0 en A²), por lo que no hay razón para descartar la polarización que es proporcional al momento. Entonces, ¿por qué debería incluso aquí puMu=0? Gracias por la ayuda, muchas gracias

Andrés

Entonces, en este caso, todos los propagadores vectoriales están en patas externas. Entonces su pregunta sería: ¿cuál es la amplitud si hay un componente similar al tiempo distinto de cero en el estado inicial o final? La respuesta es que la amplitud es cero, ya que las patas externas están en el caparazón, y en el caparazón

p_{μ} A^{μ} = 0

$p_\mu A^\mu=0$ (así que en el marco de descanso,

A^{0} = 0

$A^0=0$ ). Creo que es posible que esté asumiendo que hay una propiedad de las amplitudes que es verdadera, eso no es realmente cierto; no hay una identidad Ward como

p_{μ} M^{μ}

$p_\mu M^\mu$ en la amplitud en sí, pero no es necesario que lo haya, en el caso masivo.

Miero Patteucci

Ok, me trajo casi al grano: ¿está diciendo que todo el asunto de la identidad de Ward proviene del componente cero no físico de los 4 campos vectoriales, tanto en Proca como en Maxwell y no de la polarización L no física para los fotones? Por lo tanto el puMu=0 debería ser válido para ambos campos e independientemente para que el fotón o Proca sea interno (este es el que ya entendí) o externo (esto es lo que me faltaba). Pero entonces no entiendo por qué Schwartz afirma que la identidad de Ward debería ser equivalente a la invariante de calibre prevista como m = 0 o solo 2 polarización física.

Andrés

No, todo lo contrario :). Los dos casos funcionan de manera diferente. Para un fotón masivo, existe un marco de reposo, por lo que

p^{μ}

$p^\mu$ es temporal (en shell), por lo que el hecho de que en shell

p_{μ} A^{μ} = 0

$p_\mu A^\mu=0$ para un fotón masivo significa que se elimina un componente temporal. Para un fotón sin masa, no hay marco de reposo, y así sucesivamente.

p^{μ}

$p^\mu$ es nulo. Además, tenemos que eliminar dos componentes de

A^{μ}

$A^\mu$ ya que solo hay dos polarizaciones. La identidad de Ward garantiza que las polarizaciones no físicas se desacoplen de los otros dofs y, por lo tanto, nunca se exciten (siempre que no estén presentes en estados externos)

Andrés

Creo que tengo una idea lo suficientemente clara de lo que te confunde ahora que podría intentar escribir una respuesta cuando tenga algo de tiempo. Pero no existe una identidad de Ward para los campos masivos de Proca.

Miero Patteucci

Ok, una primera cosa ha sido aclarada: en mis notas, el truco de Stuckelberg fue adoptado desde el principio, por eso también tenía un parámetro de calibre ξ para Proca. Lo que entendí hasta ahora es que puMu=0 para un campo Proca reproduce fielmente el comportamiento del componente 0 no físico. Esto no tiene nada que ver con la invariancia de calibre y la identidad de Ward. Para un campo de Maxwell, en cambio, necesitamos una polarización adicional eliminada y así es como surgen la invariancia de calibre y la identidad de Ward. Por lo tanto, la prueba dada por Schwartz de la identidad de Ward (Takahashi) para QED no es trivial, ya que hace que solo sobrevivan 2 dofs.

Andrés

Ah, sí, la historia es diferente si usas el truco de Stuckelberg. De todos modos, otra forma de pensar en todo esto es en términos de restricciones de primera y segunda clase (google "Cuantización de Dirac-Bergman"). Una restricción de primera clase (simetría de calibre) elimina dos grados de libertad, mientras que una restricción de segunda clase (simplemente una restricción normal) elimina uno. El electromagnetismo sin masa tiene una restricción de primera clase, la teoría de Proca (sin el truco de Stuckelberg) tiene una restricción de segunda clase.

Miero Patteucci

Por fin tengo una imagen clara, muchas gracias.

Respuestas (2)

Ward Identity y Proca Fields

"la prueba seguida por Schwartz parece no excluir el caso de un bosón vectorial masivo" --> ¿Puede dar más detalles aquí? ¿Qué versión de la identidad de Ward crees que se aplica a los campos vectoriales masivos? En la formulación habitual, existe una restricción (de segunda clase) que elimina el componente temporal (no longitudinal), pero no la simetría de calibre ni la identidad de Ward. También como un consejo amistoso, ayudaría mucho usar MathJax (similar a LaTeX) para formatear las matemáticas en su pregunta, aquí hay un tutorial: math.meta.stackexchange.com/q/5020
Gracias por el tip, soy nuevo así que espero que no te importe si en este tema sigo escribiendo con el texto normal. Para completar, me refiero a Schwartz 14.8.1 14.8.2 y 14.8.3. Creo que la eliminación del componente temporal es válida tanto para los campos de Proca como para los de Maxwell. Por ejemplo, considere el proceso e(-)e(+)->u(-)u(+) a nivel de árbol: reemplazar kukv en el propagador de Proca y Maxwell me dará cero en ambos casos. Pero si uso la identidad de Ward en un proceso que involucra bosones vectoriales externos, cuando reemplazo la polarización con pu, no veo de dónde viene la invariancia de calibre para matar a puMu
Bueno, es una buena idea aprender MathJax temprano y en realidad solo se usa el margen de beneficio de LaTeX mientras escribe, por lo que recomiendo usarlo, pero puedo seguir lo que está escribiendo más o menos. No hay invariancia de indicador para un campo de indicador masivo (a menos que use el truco de Stuckelberg). El numerador del propagador es $\eta_{\mu\nu}+p_\mu p_\nu / m^2$ ; si contratas esto con $p^\mu$ usted obtiene $p_\nu - (m^2/m^2)p_\nu = 0$ ; esta propiedad se deriva de la restricción de segunda clase y es responsable de eliminar el modo similar al tiempo.
Aprenderé lo antes posible. Estoy familiarizado con lo que está diciendo, pero luego diría: tome la dispersión de Compton (esto significa que no hay propagadores de vectores internos) pero considere Proca en lugar de Maxwell e intente reemplazar una polarización externa con el impulso. Aquí no tenemos invariancia de norma (prevista como simetría local U(1) del lagrangiano que proviene de tener m=0 en A²), por lo que no hay razón para descartar la polarización que es proporcional al momento. Entonces, ¿por qué debería incluso aquí puMu=0? Gracias por la ayuda, muchas gracias
Entonces, en este caso, todos los propagadores vectoriales están en patas externas. Entonces su pregunta sería: ¿cuál es la amplitud si hay un componente similar al tiempo distinto de cero en el estado inicial o final? La respuesta es que la amplitud es cero, ya que las patas externas están en el caparazón, y en el caparazón $p_\mu A^\mu=0$ (así que en el marco de descanso, $A^0=0$ ). Creo que es posible que esté asumiendo que hay una propiedad de las amplitudes que es verdadera, eso no es realmente cierto; no hay una identidad Ward como $p_\mu M^\mu$ en la amplitud en sí, pero no es necesario que lo haya, en el caso masivo.
Ok, me trajo casi al grano: ¿está diciendo que todo el asunto de la identidad de Ward proviene del componente cero no físico de los 4 campos vectoriales, tanto en Proca como en Maxwell y no de la polarización L no física para los fotones? Por lo tanto el puMu=0 debería ser válido para ambos campos e independientemente para que el fotón o Proca sea interno (este es el que ya entendí) o externo (esto es lo que me faltaba). Pero entonces no entiendo por qué Schwartz afirma que la identidad de Ward debería ser equivalente a la invariante de calibre prevista como m = 0 o solo 2 polarización física.
No, todo lo contrario :). Los dos casos funcionan de manera diferente. Para un fotón masivo, existe un marco de reposo, por lo que $p^\mu$ es temporal (en shell), por lo que el hecho de que en shell $p_\mu A^\mu=0$ para un fotón masivo significa que se elimina un componente temporal. Para un fotón sin masa, no hay marco de reposo, y así sucesivamente. $p^\mu$ es nulo. Además, tenemos que eliminar dos componentes de $A^\mu$ ya que solo hay dos polarizaciones. La identidad de Ward garantiza que las polarizaciones no físicas se desacoplen de los otros dofs y, por lo tanto, nunca se exciten (siempre que no estén presentes en estados externos)
Creo que tengo una idea lo suficientemente clara de lo que te confunde ahora que podría intentar escribir una respuesta cuando tenga algo de tiempo. Pero no existe una identidad de Ward para los campos masivos de Proca.
Ok, una primera cosa ha sido aclarada: en mis notas, el truco de Stuckelberg fue adoptado desde el principio, por eso también tenía un parámetro de calibre ξ para Proca. Lo que entendí hasta ahora es que puMu=0 para un campo Proca reproduce fielmente el comportamiento del componente 0 no físico. Esto no tiene nada que ver con la invariancia de calibre y la identidad de Ward. Para un campo de Maxwell, en cambio, necesitamos una polarización adicional eliminada y así es como surgen la invariancia de calibre y la identidad de Ward. Por lo tanto, la prueba dada por Schwartz de la identidad de Ward (Takahashi) para QED no es trivial, ya que hace que solo sobrevivan 2 dofs.
Ah, sí, la historia es diferente si usas el truco de Stuckelberg. De todos modos, otra forma de pensar en todo esto es en términos de restricciones de primera y segunda clase (google "Cuantización de Dirac-Bergman"). Una restricción de primera clase (simetría de calibre) elimina dos grados de libertad, mientras que una restricción de segunda clase (simplemente una restricción normal) elimina uno. El electromagnetismo sin masa tiene una restricción de primera clase, la teoría de Proca (sin el truco de Stuckelberg) tiene una restricción de segunda clase.

Andrés · Answer 1

Solo estoy transfiriendo algo de lo que escribí en los comentarios a una respuesta; puedo agregar más a esto más adelante.

No hay identidad de Ward para un campo masivo de spin-1; los casos masivos y sin masa funcionan de manera diferente.

Para un fotón masivo , existe un marco de reposo, por lo que $p_\mu$ es temporal (en shell), por lo que el hecho de que en shell $p_\mu A^\mu=0$ para un fotón masivo significa que un componente temporal se elimina de los estados externos. Para líneas internas, el numerador del propagador es $\eta_{\mu\nu} + p_\mu p_\nu / m^2$ ; si contratas esto con $p^\mu$ usted obtiene $p_\nu - (m^2/m^2) p_\nu=0$ ; esta propiedad se deriva de la restricción de segunda clase y es responsable de eliminar el modo similar al tiempo.

Para un fotón sin masa , no hay marco de reposo, y así sucesivamente. $p_\mu$ es nulo. Además, tenemos que eliminar dos componentes de $A_\mu$ ya que solo hay dos polarizaciones. La identidad de Ward garantiza que las polarizaciones no físicas se desacoplen de los otros dofs y, por lo tanto, nunca se exciten (siempre que no estén presentes en estados externos).

Otra forma de pensar en todo esto es en términos de restricciones de primera y segunda clase (google "Cuantización de Dirac-Bergman"). Una restricción de primera clase (simetría de calibre) elimina dos grados de libertad, mientras que una restricción de segunda clase (simplemente una restricción normal) elimina uno. El electromagnetismo sin masa tiene una restricción de primera clase, la teoría de Proca (sin el truco de Stuckelberg) tiene una restricción de segunda clase.

La historia es diferente si usas el truco de Stuckelberg en el caso masivo; luego introduce un nuevo campo, por lo que ingenuamente tiene 5 grados de libertad (4 componentes del campo vectorial más un campo escalar). También tiene una nueva simetría de calibre, con una restricción de primera clase asociada. La restricción de la primera clase elimina dos grados de libertad y 5-2=3, que es el número correcto de grados de libertad para una partícula masiva de espín-1.

qmecanico · Answer 2

Hay dos jerarquías de identidades Ward-Takahashi (WTI):

WTI para diagramas conectados que expresan la conservación de la carga y derivados a través de las ecuaciones de Schwinger-Dyson (SD) a partir de una simetría de calibre global .
WTI para diagramas apropiados derivados de BRST/ simetría de calibre local . Esto implica (entre otras cosas) que el tensor de polarización de 2 puntos para el campo de fotones es transversal en el $R_{\xi}$ calibre _

Ambas jerarquías WTI son, en principio, identidades independientes.

Ya para QED con materia, el emparejamiento entre las dos jerarquías WTI es algo complicado, cf. por ejemplo , esta y estas publicaciones Phys.SE relacionadas, especialmente cuando se consideran los roles de las condiciones de fijación de calibre y la renormalización.

Dado que la teoría de Proca con campos de materia tiene simetría de calibre global pero no local , solo tiene la primera jerarquía WTI.

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Andrés

qmecanico

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