¿Por qué depende el indicador de autoenergía del electrón?

Dejar ψ ( X ) Sea el campo del electrón. Su función de dos puntos transformada de Fourier dice

⟨ ψ ψ ¯ ⟩ = 1 pag − metro − Σ ( pag ) .

si calculamos Σ ( pag ) , observamos que depende del parámetro gauge ξ , que en principio no es un problema porque Σ ( pag ) no es observable por sí mismo.

Pero si pensamos en una transformación de norma tomando ψ → mi i α ( X ) ψ ( X ) , entonces la función de dos puntos debe satisfacer

⟨ ψ ψ ¯ ⟩ → ⟨ ψ mi i α ( X ) mi − i α ( X ) ψ ¯ ⟩ = ⟨ ψ ψ ¯ ⟩

Por lo tanto, uno esperaría ingenuamente Σ ( pag ) ser invariante de calibre, y por lo tanto no debería depender de ξ . ¿Cuál es la solución a esta contradicción? ¿Por qué fallan nuestras expectativas?

El truco, sospecho, radica en el cálculo de Σ . Estrictamente hablando, es la suma de un número infinito de órdenes, pero en los cálculos uno necesariamente tiene que truncarlo en algún orden finito. Este truncamiento introduce la dependencia del calibre. Si uno pudiera calcularlo en todos los órdenes, creo que sería independiente del calibre.
@flippiefanus si eso funciona, sin duda sería satisfactorio. Pero no estoy 100% seguro de que eso funcione: después de todo, al calcular S elementos de la matriz, pedimos ξ -independencia orden por orden en la teoría de perturbaciones, ¿no?
¿Cómo funciona la transformación de calibre? mi i α ( X ) cambiar ξ ? En una teoría con ξ , abandonó la invariancia del indicador porque arregló el indicador, por lo que no veo cómo el requisito de que ⟨ ψ ψ ¯ ⟩ ser "invariante de calibre" es consistente con haber fijado el calibre introduciendo ξ .
@ACuriousMind Veo lo que dices y es un poco convincente. Supongo que tuve la sensación de que algo que a priori era invariante de calibre no debería modificarse arreglando el calibre, por lo que no debería depender de ξ (o cualquier otro parámetro/procedimiento de fijación del calibre).
En cualquier caso, la función de dos puntos no es local. ψ ( 0 ) ψ ¯ ( X ) , por lo que no es invariante de calibre.
@Thomas gracias por tu comentario. Lo que dice suena prometedor, pero no estoy seguro de lo que quiere decir con no local (¿no local en qué sentido? ¿Quiere decir que esos objetos son distribuciones y, por lo tanto, deben integrarse en funciones fluidas? o quiere decir que cualquier receta de regularización hace la función de dos puntos no local? o tal vez algo más?)
En el sentido habitual, necesita una función real de dos puntos S ( 0 , X ) computar S ( pag ) .
@Thomas, me siento tonto, pero no te sigo. yo se que para calcular ⟨ ψ ψ ¯ ⟩ ( pag ) Necesito ⟨ ψ ψ ¯ ⟩ ( X ) , pero no veo cómo eso es relevante en absoluto. Si algo es invariante de calibre en el espacio de posición, también es invariante de calibre en el espacio de momento. ¿Por qué la integración sobre d X introducir alguna dependencia de calibre a un objeto independiente de calibre? La integración sobre el espacio es un procedimiento de calibre invariante, por así decirlo...
Necesitas S ( X , y ) = ⟨ ψ ( X ) ψ ¯ ( y ) ⟩ . Por la invariancia de Lorentz S ( X , y ) solo depende de X − y , y S ( pag ) es el FT en X − y .
@Thomas Guau. Ahora me doy cuenta de lo que quieres decir, estaba siendo un tonto. ¿Quieres escribir una respuesta para que pueda aceptarla?

Respuestas (3)

el propagador S ( pag ) es la transformada de Fourier de la función de dos puntos S ( X , y ) = ⟨ ψ ( X ) ψ ¯ ( y ) ⟩ ,

S ( pag ) = ∫ d pag ( 2 π ) 4 Exp ⁡ ( − i pag ⋅ ( X − y ) ) S ( X , y ) .
Tenga en cuenta que debido a la invariancia de Lorentz S ( X , y ) no depende de X + y . Claramente, la función de dos puntos no es local y no es invariante de calibre.

Como alternativa a la respuesta de Thomas, notamos que si escribimos la ley de transformación explícitamente, obtenemos

⟨ ψ ( X ) ψ ¯ ( y ) ⟩ → ⟨ ψ ( X ) mi i α ( X ) mi − i α ( y ) ψ ¯ ( y ) ⟩ = mi i ( α ( X ) − α ( y ) ) ⟨ ψ ( X ) ψ ¯ ( y ) ⟩

Vemos que la función de dos puntos no puede ser invariante de calibre porque los campos se evalúan en diferentes puntos y, por lo tanto, las fases locales no se cancelan entre sí. Esto no fue evidente en el OP porque no escribí las etiquetas de espacio-tiempo explícitamente. Tonto de mí.

En este sentido el campo de Dirac ψ ( X ) también es calibre no invariante ya que cambia. Lo más importante es que el cambio de variable no está obligado a conservar la forma de las ecuaciones, si ayuda a resolver las ecuaciones.
Es incorrecto tomar la exponencial fuera del valor esperado. El parámetro de calibre α debe considerarse como un grado de libertad independiente (escalar) después de la cuantificación y, como tal, tiene un valor esperado no trivial. Vea la respuesta a continuación.
@lux No estoy de acuerdo. Simplemente no es cierto que α debe ser tomado como un operador. Puede introducir un campo de Stückelberg realizando una transformación de indicador cuyo parámetro de indicador sea un operador . Pero ciertamente no tienes que hacerlo. En QED estándar, sin campos de Stückelberg, la transformación de calibre es definitivamente una C -número y se puede extraer de las funciones de correlación.
DE ACUERDO. Basta con mirar el tratamiento de Landau
@lux Lo siento, pero no es necesario: Landau puede muy bien considerar α como operador. No estoy diciendo que no puedas hacer eso; definitivamente puedes Estoy diciendo que no tienes que hacerlo si no quieres. De hecho, en la formulación más estándar de QED no se considera α como operador. Su enfoque, aunque correcto, es la excepción y no la regla. Es un buen enfoque, muy interesante, pero debe tener en cuenta que no es canónico y no debe hacer afirmaciones tan categóricas.
De acuerdo. Pero su función de dos puntos transformada actual es incorrecta. Vea mi respuesta a continuación.
@lux La función de dos puntos no es incorrecta. Su respuesta es solo una lista de referencias con poco o ningún contenido propio. Contiene una declaración incorrecta y poco más. Y ciertamente no contiene ninguna discusión sobre por qué la función de dos puntos que escribo es incorrecta.

El propagador, o cualquier función de correlación arbitraria, depende en gran medida del calibre de los fotones internos (la identidad de Ward se ocupa de las variaciones del calibre de los fotones externos).

Esto fue notado por primera vez por Landau y Khalatnikov (y casi al mismo tiempo por Fradkin) quienes básicamente analizan la versión cuantificada del campo de transformación de calibre llamado α ( X ) por OP:

  • L. Landau, I. Khalatnikov, Sov. física JETP2,69 (1956).
  • ES Fradkin, Zh. Eksp. teor Fiz.29, 258261 (1955).

el tratamiento de α como un campo de tipo Stueckelberg es más claro en

  • MAL Capri, D. Fiorentini, MS Guimaraes, BW Mintz, LF Palhares, SP Sorella, Phys. Rev. D 94, 065009 (2016)
  • T. De Meerleer, D. Dudal, SP Sorella, P. Dall'Olio, A. Bashir, Phys. Rev. D 97, 074017 (2018)

Para la generalización a funciones de Green arbitrarias (que involucran productos simples del campo de fermiones - ver comentarios) ver

  • T De Meerleer, D. Dudal, SP Sorella, P. Dall'Olio, A. Bashir, Phys. Rev. D 101, 085005 (2020)
  • N. Ahmadiniaz, JP Edwards, J. Nicasio, C. Schubert, arXiv:2012.10536 [hep-th]
No es cierto que una función de correlación arbitraria dependa de la elección del calibre para los fotones internos. Funciones de correlación de operadores invariantes de calibre (como F m v o ψ ¯ ( X ) W ( X , y ) ψ ( y ) , con W una línea de Wilson) son invariantes de calibre y no dependen de ξ .
La pregunta original habla de correladores de productos puros de ψ campos. Un nuevo tema debe ser discutido en una pregunta separada.
¿Por qué? Está haciendo una declaración incorrecta, ya sea relevante para la pregunta o no. Simplemente no es cierto que las funciones de correlación arbitrarias dependan del calibre. Esta frase es falsa. Si esto responde a la pregunta en el OP es completamente irrelevante. Si alguien pregunta sobre los agujeros negros y usted afirma que 1+2=7, aún estaría haciendo una afirmación falsa, incluso si no está relacionada con los agujeros negros.
¿Por qué depende el indicador de autoenergía del electrón?
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