El significado de la fijación de calibre en la cuantificación covariante del campo electromagnético

Tengo problemas para entender la idea detrás de la cuantización covariante del campo electromagnético que generalmente se hace en los libros de texto (actualmente estoy siguiendo las notas de Mandl & Shaw y David Tong en mi curso QFT). El punto de partida para cuantificar el campo electromagnético es hablar sobre la libertad de calibre y cómo puede ser útil para tratar el electromagnetismo, y luego elige convenientemente la condición de Lorentz como una restricción auxiliar que desea que el potencial 4 A m satisfacer; sin embargo, después de la cuantificación, esta condición se convierte en una restricción en el espacio de estados físicos aceptables, y no en los operadores de campo en sí: "estados físicos" | Ψ ⟩ son aquellos tales que ∂ m A m + | Ψ ⟩ = 0 (Condición de Gupta-Bleuler). Ahora bien, mi pregunta es doble:

  1. ¿Existe algún procedimiento de cuantificación que no dependa de la fijación de indicadores? Todavía no me siento muy cómodo con la idea de que tenga que arreglar un calibre para cuantificar de manera consistente una teoría que formuló explícitamente como invariante de calibre desde el principio, y me parece que esto se hace a un alto costo: - ¡La fijación de calibres se manifiesta como una restricción en los estados físicos!
  2. (Algo relacionado con la primera pregunta) ¿Cómo la condición de Gupta-Bleuler fija exactamente el calibre, ya que no es una condición sobre los operadores, sino sobre los estados físicos? ¿Se supone que debo pensar en estas dos cosas como totalmente equivalentes?

Respuestas (2)

En primer lugar, debe arreglar el indicador ya que el 4-potencial A m tendría 4 grados de libertad en lugar de los 2 polarizaciones del fotón.

En general, hay 3 formas diferentes de cuantificar una teoría que presenta restricciones de primera clase (como es el caso del campo electromagnético). Para quien no está acostumbrado a restricciones de primera clase, son esas restricciones C α que genera transformaciones de calibre como d z A = { z A , ϵ α ( z ) C α ( z ) } dónde z A son las coordenadas en el espacio de fase y ϵ α son los parámetros de calibre.

Ahora los métodos son:

  1. Método de espacio de fase reducido;
  2. método de Dirac-Gupta-Bleuer;
  3. método BRST.

Espacio de fase reducido:

El primer método fija un solo representante en la órbita del indicador a través de una condición de fijación del indicador. F α ( z ) = 0 con d mi t { C α , F β } | C = F = 0 ≠ 0 (esto lleva a tener un nuevo conjunto de restricciones que ahora son de la clase II, y se puede definir el paréntesis de Dirac como un nuevo paréntesis de Poisson para cuantificar de forma canónica).

Dirac-Gupta-Bleuer

El segundo método consiste en cuantizar todo el espacio-fase, dejando todas las variables no físicas. Como hemos cuantificado todo, ahora debemos exigir que nuestras restricciones, al actuar sobre estados físicos, den cero:

C ^ α ( z ^ ) | ψ pag h ⟩ = 0
Este es el método preferido para cuantificar el campo electromagnético, de esta manera se pueden eliminar todos los grados de libertad no físicos después de la cuantificación.

BRST Lagrangiano

Este método es el más complicado, pero en mi opinión es el más fascinante. La idea, aquí, es agregar nuevos grados de libertad, llamados fantasmas (con paridad grassman opuesta a la de las restricciones) y sus momentos (con la misma paridad que los fantasmas) (Para entender este procedimiento, tendrás que ser familiarizado con algunas nociones básicas de supersimetría).

Ahora, se puede probar que existe una carga BRST q con algunas propiedades, en particular es nilpotente ( q 2 = 0 ), que genera la transformación BRST.

En este contexto, un estado físico se define si es BRST-invariante, es decir

q ^ | ψ pag h ⟩ = 0
Pero gracias a la nilpotencia de q , se puede considerar la clase de cohomología del estado físico, lo que significa que dos estados son equivalentes si difieren en un término exacto, es decir
( | ϕ pag h ⟩ ∼ | ψ pag h ⟩ ) ⟺ ( | ϕ pag h ⟩ = | ψ pag h ⟩ + q ^ | x ⟩ )
por un arbitrario | x ⟩ .

Esto parece solo un procedimiento demasiado complicado, pero cuando uno considera la integral funcional con todos estos nuevos términos, uno tiene la libertad de agregar un nuevo término a la acción que es un término exacto para hacer muchas simplificaciones y llegar al resultado correcto de una manera más sofisticada.

Dejo aquí una referencia (libro de texto) que cubre la cuantización de las teorías de calibre: Marc Henneaux y Claudio Teitelboim "Cuantización de sistemas de calibre".

  1. ¿Por qué calibramos -fijamos la integral de trayectoria en primer lugar? Si estuviéramos haciendo la teoría del calibre de celosía , no necesitábamos corregir el calibre. Pero en el caso del continuo, (el hessiano de) la acción de una teoría de calibre tiene direcciones cero que conducen a factores infinitos cuando se realiza la integral de trayectoria sobre órbitas de calibre. Para evitar esto, calibramos-arreglar.

  2. La condición de Gupta-Bleuler no es una condición de fijación de calibre per se, sino una condición para determinar estados físicos. En general, también hay condiciones en un observable O ^ . Esto es quizás más fácil de ver en la formulación BRST . un estado fisico | Ψ ⟩ y un observable O ^ ambos deben ser BRST-invariante

    q ^ | Ψ ⟩   =   0 y [ q ^ , O ^ ]   =   0 ^ .

Intentaré verificar la formulación BRST, nunca había oído hablar de ella antes. Entonces, con respecto a su primer punto, ¿está diciendo que una motivación para corregir el calibre es no "contar en exceso" los estados físicos más de una vez al hacer la integral de ruta? Entonces, ¿no hay una razón formal para que hagas eso en la cuantización canónica, excepto si llegas a la formulación de integral de camino?
El significado de la fijación de calibre en la cuantificación covariante del campo electromagnético
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