¿Por qué un escalar real no puede acoplarse al campo electromagnético?

El hecho de que la teoría no sea invariante de calibre implica que todos los grados de libertad de$A_\mu$debe tener un significado físico: Esta no es la teoría de los fotones donde solo los grados transversales de libertad tienen sentido. De esta manera, debe abordar algún problema no trivial como la norma negativa asociada con los modos temporales. Esto podría evitarse agregando una masa a$A_\mu$y dando vueltas$1$(en lugar de helicidad) a las partículas asociadas. Sin embargo, una vez más, este no es el campo EM.

ANEXO . En realidad, si le sumamos una masa a$A_\mu$y asumimos que el campo describe partículas con espín$1$(evitando problemas con los modos temporales) la condición$\partial_\mu A^\mu =0$debe agregarse solo para eliminar un grado de libertad (o incluso es automático si se usa la acción Proca según lo observado por AccidentalFourierTransform). Esto tiene la devastadora consecuencia de que la interacción lagrangiana se convierte en un término límite, es decir, se desvanece:

$$\int A_\mu \phi \partial^\mu \phi\,\mathrm d^4x = \frac{1}{2}\int \partial^\mu \left(A_\mu \phi^2\right)\,\mathrm d^4x$$ Creo que tenemos una teoría inútil desde cada punto de vista.

Consideremos la electrodinámica escalar (electrodinámica de Klein-Gordon-Maxwell) con el Lagrangiano:

$$\begin{eqnarray}\label{eq:pr6} -\frac{1}{4}F^{\mu\nu}F_{\mu\nu}+\frac{1}{2}(\psi^*_{,\mu}-ieA_\mu\psi^*)(\psi^{,\mu}+ieA^\mu\psi)-\frac{1}{2}m^2\psi^*\psi \end{eqnarray}$$

y las ecuaciones de movimiento

$$\begin{equation}\label{eq:pr7} (\partial^\mu+ieA^\mu)(\partial_\mu+ieA_\mu)\psi+m^2\psi=0, \end{equation}$$ $$\begin{equation}\label{eq:pr8} \Box A_\mu-A^\nu_{,\nu\mu}=j_\mu, \end{equation}$$ $$\begin{equation}\label{eq:pr9} j_\mu=ie(\psi^*\psi_{,\mu}-\psi^*_{,\mu}\psi)-2e^2 A_\mu\psi^*\psi. \end{equation}$$

El complejo campo de materia cargada$\psi$puede hacerse real mediante una transformada de calibre (al menos localmente), y las ecuaciones de movimiento en el calibre relevante (calibrador unitario) para el cuatro potencial transformado del campo electromagnético$B^{\mu}$y campo de materia real$\varphi$son como sigue ($E.~Schr\ddot{o}dinger, {Nature}$, 169:538, 1952):

$$\begin{equation}\label{eq:pr10} \Box\varphi-(e^2 B^\mu B_\mu-m^2)\varphi=0, \end{equation}$$ $$\begin{equation}\label{eq:pr11} \Box B_\mu-B^\nu_{,\nu\mu}=j_\mu, \end{equation}$$ $$\begin{equation}\label{eq:pr12} j_\mu=-2e^2 B_\mu\varphi^2. \end{equation}$$

Schrödinger hizo el siguiente comentario: "Que la función de onda ... pueda hacerse real mediante un cambio de calibre no es más que una perogrullada, aunque contradice la creencia generalizada de que los campos 'cargados' requieren una representación compleja".

Estas ecuaciones de movimiento se pueden obtener del Lagrangiano de trabajo (T. Takabayasi (1953), Progr. Theor. Phys., 9 ,187):

$$\begin{equation}\label{eq:pr12a} -\frac{1}{4}F^{\mu\nu}F_{\mu\nu}+\frac{1}{2}e^2 B_\mu B^\mu \phi^2+\frac{1}{2}(\varphi_{,\mu}\varphi^{,\mu}-m^2\varphi^2). \end{equation}$$ En realidad, coincide con el Lagrangiano anterior hasta la sustitución del campo escalar complejo por uno real. Cualquier solución de las ecuaciones de movimiento del primer Lagrangiano tiene una solución físicamente equivalente de las ecuaciones de movimiento del segundo Lagrangiano.

No consideré la cuantización aquí.

EDITAR (10/02/2018):

Me gustaría agregar que el sistema anterior de campo escalar real interactivo y campo electromagnético tiene algunas propiedades sorprendentes. A partir de las ecuaciones de movimiento se puede ver que el campo escalar real se puede eliminar algebraicamente, y resulta que las ecuaciones resultantes para el campo electromagnético describen su evolución independiente (mi artículo en European Physical Journal C http://link.springer. com/content/pdf/10.1140%2Fepjc%2Fs10052-013-2371-4.pdf y referencias allí).

Aparentemente, también es posible introducir un Lagrangiano invariante de Lorentz con derivadas superiores que no incluye el campo de la materia, pero es en gran medida equivalente al Lagrangiano de Takabayasi (mi artículo https://arxiv.org/abs/1006.2578 ; el significado de algunos casos especiales, por ejemplo,$\varphi=0$y$B^\mu B_\mu=0$(ver más abajo) no está claro (¿diferentes partículas?)). Con este fin, el Takabayasi Lagrangian se puede expresar en términos de$\Phi=\varphi^2$, más bien que$\varphi$, utilizando, por ejemplo, lo siguiente:

$$\begin{equation}\label{eq:pr16a} \varphi_{,\mu}\varphi^{,\mu}=\frac{1}{4}\frac{\Phi_{,\mu}\Phi^{,\mu}}{\Phi}, \end{equation}$$ y entonces $\Phi$puede ser reemplazada por la siguiente expresión obtenida de las ecuaciones de movimiento: $$\begin{equation}\label{eq:pr16b} \Phi=-\frac{1}{2e^2} \frac{B^\mu(\Box B_\mu-B^\nu_{,\nu\mu})}{B^\mu B_\mu}. \end{equation}$$

Por lo tanto, un Lagrangiano que incluye solo un campo electromagnético describe prácticamente la misma física que la electrodinámica escalar.