¿Cómo se cancelan las polarizaciones de fotones no transversales en Euclidean QED?

Primero, recuerde cómo escribir amplitudes de dispersión en forma covariante en Minkowskian QED.

Se comienza considerando algún proceso con un fotón externo cuyo impulso se elige para ser$k^\mu=(k,0,0,k)$y sean los dos vectores de polarización transversal$\epsilon^\mu_1=(0,1,0,0)$y$\epsilon_2^\mu=(0,0,1,0)$. La identidad de Ward nos dice que si la amplitud del proceso es$\mathcal M=\mathcal M^\mu \epsilon_\mu(k)$, donde hemos factorizado el vector de polarización para el fotón externo en consideración, entonces la amplitud obedece$\mathcal M^\mu k_\mu=0$, en concha. Con nuestra configuración, esto simplemente nos dice$\mathcal M^0=\mathcal M^3$. Si luego calculamos el cuadrado de la amplitud y sumamos las polarizaciones externas físicas, encontraríamos$|\mathcal M|^2=\sum_{i\in\{1,2\}}\epsilon_{i\mu}\epsilon_{i\nu}^*\mathcal M^μ\mathcal M^{ν*}=|\mathcal M^1|^2+|\mathcal M^2|^2$. Debido a la identidad de Ward, esto es igual a$−\eta_{\mu\nu}\mathcal M^\mu\mathcal M^\nu$, con$\eta_{\mu\nu}={\rm diag}(1,-1,-1,-1)$, y así podemos hacer el reemplazo$\sum_{i\in\{1,2\}}\epsilon_{i\mu}\epsilon_{i\nu}^*\to-\eta_{\mu\nu}$y entonces es la identidad de Ward la que nos permite escribir amplitudes de dispersión de forma covariante.

¿Cómo se generaliza esto al caso euclidiano donde la métrica es$\delta_{\mu\nu}={\rm diag}(1,1,1,1)$? Ingenuamente, necesitamos la firma no euclidiana para reproducir la cancelación entre los cuadrados manifiestamente positivos de los elementos de la matriz como se encuentra arriba, entonces, ¿cómo se generaliza este procedimiento al caso euclidiano? Es decir, si la verdadera amplitud de dispersión en el caso euclidiano sigue siendo$|\mathcal M^1|^2+|\mathcal M^2|^2$entonces parece que esto no puede ser equivalente a$\delta_{\mu\nu}\mathcal M^\mu\mathcal M^{\nu *}$para cualquier relación de tipo de identidad Ward entre el$\mathcal M^\mu$'s, por lo que no sería posible escribir la amplitud de dispersión de manera manifiestamente covariante.

¿Qué está sucediendo? ¿Me estoy perdiendo algo obvio? ¿Cambian los grados de libertad del fotón cuando va al espacio euclidiano o algo así?