Ecuaciones de Schwinger-Dyson en el calibre de Coulomb

Introducción

Hasta donde yo sé (¡y corríjame si algo está mal!), la narrativa habitual para tratar la teoría de la perturbación en QED con el indicador de Coulomb es la siguiente:

En primer lugar, el campo de indicador se fija en

$$\nabla\cdot\vec A(x)=0\tag{1}$$ de modo que las ecuaciones de movimiento se leen $$\begin{aligned} \nabla^2 A^0(x)&=J^0(x)\\ \partial^2\vec A(x)&=P(\nabla)\vec J(x) \end{aligned} \tag{2}$$ dónde $\partial^2=\partial_0^2-\nabla^2$y $$P^{ij}(\vec k)=\delta^{ij}-\frac{k^ik^j}{\vec k^2}\tag{3}$$ es el proyector en la parte transversal de la corriente.

Ahora, la ecuación de movimiento para$A^0$no es dinámico, por lo que integramos ese campo estableciendo

$$A^0=\frac{1}{\nabla^2}J^0 \tag{4}$$ en el lagrangiano, generando el conocido término de Coulomb no local.

Por otro lado, el campo verdadero es$\vec A$, y su propagador es

$$\Delta^{ij}(k)=\frac{P^{ij}(\vec k)}{k^2+i\epsilon} \tag{5}$$

El punto importante es el siguiente: el término no local es, para todos los efectos prácticos, equivalente a un propagador extendido$\Delta^{\mu\nu}$tal que coincida con$\Delta^{ij}$en los componentes espaciales, y

$$\Delta^{00}(\vec k)=\frac{1}{\vec k^2} \tag{6}$$

Se puede demostrar que este propagador extendido es el mismo que el propagador covariante en el calibre de Feynman$\xi=1$, hasta términos (no covariantes) proporcionales a$k^\mu$, y por lo tanto la teoría es, después de todo, covariante.

Si bien sigue siendo cierto que$\Delta^{ij}=\langle A^i A^j\rangle$, ahora no hay ningún operador correspondiente a$\Delta^{00}$.

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Mi duda: Un ejemplo

Hasta ahora, todo bien (?). Ahora, la cancelación de la$k^\mu$términos se pueden probar, en términos generales, gracias a las identidades de Ward-Takahashi, que establecen que las funciones de correlación general son cero cuando se contraen con$k^\mu$(más o menos: no es necesario que sean cero, pero su forma está muy restringida).

Pero me parece que estas identidades no pueden usarse ingenuamente en el indicador de Coulomb, porque no tenemos$A^0$más, por lo que las funciones de correlación no incluyen la$\mu=0$componente. En otras palabras, las verdaderas funciones de correlación son

$$\langle 0|T\ A^i(x)A^j(y)\psi(z)\cdots|0\rangle \tag{7}$$ y es imposible contratar esto con $\partial_\mu$. Así que supongo que todavía podemos escribir $$\partial_\mu\langle J^\mu \psi_1\psi_2\cdots\rangle=\text{contanct-term} \tag{8}$$ pero, en el calibre de Coulomb, no hay una relación simple entre $\langle J^\mu\cdots\rangle$y $\langle A^\mu\cdots\rangle$. En calibres generalizados tenemos $$\langle A^\mu \cdots\rangle=\frac{1}{\partial^2}\langle J^\mu\cdots\rangle+\text{contanct-term} \tag{9}$$ pero esto ya no es cierto en el calibre de Coulomb.

O dicho de otra manera: podemos escribir las identidades WT con$J^\mu$en lugar de$A^\mu$, pero esto no nos lleva mucho más lejos: para mostrar la cancelación de$k^\mu$términos debemos escribir la función de correlación en términos de$A^\mu$. En calibres covariantes esto es fácil: usando$-\partial^2 A^\mu=J^\mu$, podemos reemplazar cualquier$A^\mu$en una función de acorralamiento, hasta un propagador$1/k^2$y un plazo de contacto (debido a la$T$símbolo). Pero esto ya no es cierto en la medida de Coulomb: por un lado,$\langle A^\mu\cdots\rangle$es indefinido para$\mu=0$.

Después de todo, las ecuaciones$(8)$y$(9)$son un ingrediente esencial para la prueba del hecho de que$k^\mu$los términos no contribuyen a predicciones medibles (por ejemplo, véase el libro de Srednicki, capítulos 67-68; en particular, ecuaciones [67.9] - [67.12]).

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Mi pregunta

En un contexto más general, ¿qué se puede decir acerca de las ecuaciones de Schwinger-Dyson en el calibre de Coulomb? ¿Siguen siendo válidos? podemos usar$A^\mu$, o debemos limitarnos a$A^i$? ¿Cómo podemos usar eficientemente el hecho de que la interacción no local es equivalente a un propagador extendido? ¿Cómo se implementa esto en el nivel de las ecuaciones DS en lugar de en el nivel de los diagramas de Feynman?

Por lo que yo sé, para calibres covariantes generales, las ecuaciones de DS funcionan bien y son válidas para los cuatro componentes de$A^\mu$.

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Informacion adicional

Weinberg, en su libro QFT, el capítulo 9.6 introduce un campo auxiliar$A^0$y lo agrupa junto con el viejo, físico$A^i$de una manera que$A^\mu$puede pensarse formalmente como un campo vectorial, con$A^0$comportándose como si fuera su verdadero componente temporal (ver página 415, en particular la discusión debajo de 9.6.6). Esto es más o menos lo que me gustaría: quiero usar el indicador de Coulomb, pero quiero usar$A^\mu$así como para poder utilizar las identidades WT o cualquier ecuación DS en general. Pero aquí Weinberg usa integrales de trayectoria en lugar de operadores. Suspiro.

Si alguien conoce alguna buena fuente donde se discuta a fondo QED en el indicador de Coulomb (¡sin integrales de ruta!), Sería muy bienvenido.