Tunelización cuántica con potencial delta

Question

Tunelización cuántica con potencial delta

Volar de noche

Estoy tratando de crear una animación de Quantum Tunneling como esta .

He estado aprendiendo algo de QM por mi cuenta, así que perdone y corrija cualquier error.

Consideré la barrera potencial $\alpha \delta(x)$ dónde $\alpha$ es una constante real y $\delta$ es de Dirac.

Asumí una ola que venía de la izquierda (que viajaba hacia la derecha), que se reflejaba en la barrera o hacía un túnel a través de la barrera. Resolver la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo me dio

ψ (X) = {\begin{array}{ccc} 1 {mi}^{i k X} + R {mi}^{- i k X} & : & X < 0 \\ T {mi}^{i k X} & : & X > 0 \end{array}

$\psi(x) = \left\{ \begin{array}{ccc} 1\mathrm e^{\mathrm ikx} + R\mathrm e^{-\mathrm ikx} & : & x<0 \\ T\mathrm e^{\mathrm i kx} & : & x > 0 \end{array}\right.$ dónde

k = \frac{\sqrt{2 m E}}{ℏ}

$k = \frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}$ . Aquí

| R |^{2}

$|R|^2$ da la probabilidad de que la onda se refleje y

| T |^{2}

$|T|^2$ la probabilidad de que la onda atraviese la barrera.

Queremos $\psi$ ser continuo y queremos, como $\varepsilon \to 0^+$ ,

- \frac{ℏ^{2}}{2 metro} \int_{- ε}^{ε} \frac{d^{2} ψ}{d X^{2}} d X + α \int_{- ε}^{ε} d (X) ψ (X) d X = mi \int_{- ε}^{ε} ψ (X) d X

$-\frac{\hbar^2}{2m}\int_{-\varepsilon}^{\varepsilon}\frac{\mathrm d^2\psi}{\mathrm dx^2}~\mathrm dx+\alpha\int_{-\varepsilon}^{\varepsilon}\delta(x)\psi(x)~\mathrm dx= E\int_{-\varepsilon}^{\varepsilon}\psi(x)~\mathrm dx$

\underset{ε \to 0}{límite} {[\frac{d ψ}{d X}]}_{- ε}^{ε} = \frac{2 metro α}{ℏ^{2}} ψ (0)

$\lim_{\varepsilon \to 0}\left[\frac{\mathrm d\psi}{\mathrm dx}\right]_{-\varepsilon}^{\varepsilon} = \frac{2m\alpha}{\hbar^2}\psi(0)$ Aplicar estas condiciones me da

R = \frac{α}{2 i k - α} y T = \frac{2 i k}{2 i k - α}

$R=\frac{\alpha}{2\mathrm ik-\alpha} \ \ \ \mbox{ and } \ \ \ T=\frac{2\mathrm ik}{2\mathrm ik-\alpha}$

ψ (X) = {\begin{array}{ccc} {mi}^{i k X} + (\frac{α}{2 i k - α}) {mi}^{- i k X} & : & X < 0 \\ (\frac{2 i k}{2 i k - α}) {mi}^{i k X} & : & X > 0 \end{array}

$\psi(x) = \left\{ \begin{array}{ccc} \mathrm e^{\mathrm ikx} + \left(\frac{\alpha}{2\mathrm ik-\alpha}\right)\mathrm e^{-\mathrm ikx} & : & x<0 \\ \left(\frac{2\mathrm ik}{2\mathrm ik-\alpha}\right)\mathrm e^{\mathrm i kx} & : & x > 0 \end{array}\right.$

Incluyendo el término dependiente del tiempo $\varphi(t)=\mathrm e^{-\mathrm iEt/\hbar} = \mathrm e^{-\mathrm ik^2\hbar t/2m}$ da

ψ (X) φ (t) = {\begin{array}{ccc} {mi}^{i k (X + k ℏ t / 2 metro)} + (\frac{α}{2 i k - α}) {mi}^{- i k (X - k ℏ t / 2 metro)} & : & X < 0 \\ (\frac{2 i k}{2 i k - α}) {mi}^{i k (X + k ℏ t / 2 metro)} & : & X > 0 \end{array}

$\psi(x)\varphi(t) = \left\{ \begin{array}{ccc} \mathrm e^{\mathrm ik(x+k\hbar t/2m)} + \left(\frac{\alpha}{2\mathrm ik-\alpha}\right)\mathrm e^{-\mathrm ik(x-k\hbar t/2m)} & : & x<0 \\ \left(\frac{2\mathrm ik}{2\mathrm ik-\alpha}\right)\mathrm e^{\mathrm ik(x+k\hbar t/2m)} & : & x > 0 \end{array}\right.$

he mirado $|\psi(x)\varphi(t)|^2$ y esto es independiente de $t$ .

Griffiths menciona tomar una combinación lineal de los $\psi(x)\varphi(t)$ , pero no da ningún detalle.

¿Algunas ideas?

jahan claes

Resolver la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo te da funciones propias, que por definición no cambian con el tiempo (excepto hasta una fase). Lo correcto es comenzar con un paquete de ondas inicial y resolver numéricamente la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo, o expandir el paquete de ondas de Fourier en términos de sus funciones propias.

Volar de noche

@JahanClaes No estoy muy seguro de lo que quiere decir con un paquete de ondas. ¿Es lo que obtenemos al sumar

ψ_{k} (x) φ_{k} (t)

$\psi_k(x)\varphi_k(t)$ para

k

$k$ en un intervalo abierto?

\int_{k \in I} F (k) ψ_{k} (X) φ_{k} (t) d k

$\int_{k \in I} f(k)\psi_k(x)\varphi_k(t)~\mathrm dk$ Usted menciona la expansión de Fourier. No sé si esto está relacionado, pero si tengo

Ψ (x, 0)

$\Psi(x,0)$ y quiero encontrar

Ψ (x, t)

$\Psi(x,t)$ luego uso la Transformada de Fourier como Griffiths en las páginas 61 y 62.

Don Volfango

"Elberfeld, W., Kleber, M. (1988) Túneles dependientes del tiempo a través de barreras delgadas: una solución analítica simple. American Journal of Physics, 56. 154-159 doi: 10.1119/1.15695" proporciona una solución analítica para el operador de evolución temporal y funciones de onda a este problema.

Respuestas (1)

Tunelización cuántica con potencial delta

Resolver la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo te da funciones propias, que por definición no cambian con el tiempo (excepto hasta una fase). Lo correcto es comenzar con un paquete de ondas inicial y resolver numéricamente la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo, o expandir el paquete de ondas de Fourier en términos de sus funciones propias.
@JahanClaes No estoy muy seguro de lo que quiere decir con un paquete de ondas. ¿Es lo que obtenemos al sumar $\psi_k(x)\varphi_k(t)$ para $k$ en un intervalo abierto? $\int_{k \in I} F (k) ψ_{k} (X) φ_{k} (t) d k$ $\int_{k \in I} f(k)\psi_k(x)\varphi_k(t)~\mathrm dk$ Usted menciona la expansión de Fourier. No sé si esto está relacionado, pero si tengo $\Psi(x,0)$ y quiero encontrar $\Psi(x,t)$ luego uso la Transformada de Fourier como Griffiths en las páginas 61 y 62.
"Elberfeld, W., Kleber, M. (1988) Túneles dependientes del tiempo a través de barreras delgadas: una solución analítica simple. American Journal of Physics, 56. 154-159 doi: 10.1119/1.15695" proporciona una solución analítica para el operador de evolución temporal y funciones de onda a este problema.

Emilio Pisanty · Answer 1

Si lo que querías era conseguir algo que cambiara en el tiempo, empezaste con el pie izquierdo cuando buscaste soluciones para la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo . La función de onda que ha anotado es una función propia del hamiltoniano y, como tal, ningún observable físico cambiará en el tiempo.

Si lo que quiere es construir una solución con un paquete de ondas que realmente se mueva, entonces esa nunca será una solución del TISE; en cambio, necesita construir una solución de la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo , con una condición inicial adecuada, y luego dejar que se propague.

Afortunadamente, ya ha realizado la mayor parte del trabajo requerido, al construir los autoestados continuos relevantes $\psi_k(x)$ (y por lo tanto sus soluciones TDSE asociadas, $e^{-i\hbar k^2 t/2m}\psi_k(x)$ ), y todo lo que necesita es ensamblarlos en un paquete de ondas. La forma en que normalmente se hace es comenzando con un gaussiano a la izquierda y con impulso a la derecha,

ψ_{0} (X, t_{0}) = norte Exp (- \frac{1}{2 σ^{2}} (X - X_{0})^{2} + i {pag}_{0} X),

$\psi_0(x,t_0) = N \exp\left(-\frac{1}{2\sigma^2}(x-x_0)^2+ip_0x\right),$ descomponga eso a través de una transformada de Fourier en una suma de ondas planas, extienda esas ondas planas a los estados propios de barrera que ha encontrado, agregue la fase dependiente del tiempo y luego vuelva a hacer la transformada de Fourier en el espacio de posición.

Como un aparte; Lo más probable es que tenga dificultades para encontrar una buena solución elemental manejable para su función de onda dependiente del tiempo al final de todo esto. He intentado algo como esto antes, y las integrales se volvieron bastante desordenadas y difíciles de manejar. Honestamente, fue más rápido para mí usar arce para resolver numéricamente la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo, aproximando el potencial delta con un Gaussiano de pico agudo.
Gracias por su respuesta. Como dices, mis funciones propias no son estados físicos, no son normalizables. Griffiths (en la página 75) destaca ese punto y continúa diciendo que necesitamos hacer combinaciones lineales de estos estados. Pensé que tal vez sería una integral en un rango corto de $k$ valores, digamos $\int_{k - ε}^{k + ε} F (k) ψ_{k} (X) φ_{k} (t) {mi}^{i X k} d k$ $\int_{K-\varepsilon}^{K+\varepsilon} f(k)\psi_k(x)\varphi_k(t)\mathrm e^{\mathrm ixk}~\mathrm dk$ ¡Sin embargo, probablemente estoy totalmente equivocado!
@chuxley ¿Cómo crees que se hizo la animación? upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/3f/…
Segunda pregunta por favor Emilio: ¿Me puede recomendar una buena referencia para todo después de su primer párrafo. Estoy leyendo Griffiths y he visto la palabra paquete de ondas, pero no me siento muy seguro.
Si tuviera que adivinar, diría que fue una simulación numérica. Tengo un programa Java que descargué en algún momento que hizo algo similar. Google "tunelización cuántica Phet". El propio applet de Java le permite cambiar el ancho y la altura de una barrera de potencial rectangular. Haga que el ancho sea pequeño y la altura grande para aproximarse a un potencial delta. En su integral que tiene arriba, no puede olvidar los factores dependientes del tiempo. Estoy bastante seguro de que tienes que incluir e^(i*E(k)*t/h). Veré si puedo trabajar con las transformadas de Fourier más tarde cuando llegue a casa del trabajo.
@Fly by Night - physicspages.com/2012/07/28/free-particle-gaussian-wave-packet . Aquí hay un buen sitio web que tiene un montón de problemas comunes de QM que probablemente disfrutará. El enlace aquí habla sobre la construcción de un paquete de ondas gaussianas para una partícula libre. Comenzaría con cosas así antes de entrar en la construcción de paquetes de ondas para partículas en un potencial. Intenté enviarte el enlace por mensaje privado, pero no pude averiguar cómo (sé que los comentarios no son para conversaciones prolongadas, lo siento :).
@FlybyNight Una buena referencia es la mecánica cuántica de David Tannor : una perspectiva dependiente del tiempo .

Tunelización cuántica con potencial delta

Volar de noche

jahan claes

Volar de noche

Don Volfango

Respuestas (1)

Emilio Pisanty

mandriles

Volar de noche

Volar de noche

Volar de noche

mandriles

mandriles

Emilio Pisanty

Electrón viajando a través de un potencial de paso de V0V0V_0 a 0

Dispersión vs estados ligados

Estados ligados y estados de dispersión - Ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo

Desplazamiento de fase de dispersión 1D (pozo finito): ¿no físico?

¿Por qué está bien confiar selectivamente en análogos intuitivos cuando se resuelven problemas de mecánica cuántica, como el problema de potencial escalonado?

Coeficiente de transmisión de barrera de doble potencial finito

Pregunta sobre la solución de la ecuación de Schrödinger para un pozo de potencial finito y una barrera cuántica

¿Por qué se define de esta manera el coeficiente de reflexión en la dispersión mecánica cuántica?

Cálculo de la probabilidad de transmisión de una función de onda entre dos distribuciones delta

Túnel a través de una barrera de potencial de Dirac