Pregunta sobre la solución de la ecuación de Schrödinger para un pozo de potencial finito y una barrera cuántica

Al resolver la ecuación de Schrödinger para un pozo de potencial finito, la solución fuera del pozo es

ψ 1 = F mi − α X + GRAMO mi α X
y
ψ 3 = H mi − α X + I mi α X .
Sin embargo, al resolver la ecuación de Schrödinger para la barrera cuántica, la solución de las regiones es
ψ L ( X ) = A r mi i k 0 X + A yo mi − i k 0 X X < 0 ψ C ( X ) = B r mi i k 1 X + B yo mi − i k 1 X 0 < X < a ψ R ( X ) = C r mi i k 2 X + C yo mi − i k 2 X X > a .

Las soluciones para la barrera cuántica tienen el imaginario i en el exponente de mi Por ejemplo A yo mi − i k 0 X . Pero la solución para el pozo de potencial finito no tiene el imaginario i en el exponente mi Por ejemplo F mi − α X .

Entonces, ¿por qué hay un imaginario i para el problema de la barrera cuántica mientras no haya un imaginario i para un problema de pozo potencial cuando la solución del problema se deriva resolviendo la ecuación de Schrödinger en la forma de ( [ d 2 d X 2 ψ ( X ) ] = b ψ ( X ) ) ?

Tengo una pregunta de seguimiento: ¿Por qué la región tiene potencial V = 0 en el pozo de potencial finito tenemos una función de onda de la forma

ψ 2 = A pecado ⁡ k X + B porque ⁡ k X
Pero para la barrera cuántica, las regiones con potencial V = 0 tiene una función de onda de
ψ L ( X ) = A r mi i k 0 X + A yo mi − i k 0 X X < 0
Entonces, ¿por qué la ecuación de Schrödinger produce resultados diferentes para la región de V = 0 ?

Tenga en cuenta que, en cualquier caso, el coeficiente puede ser imaginario y, por lo tanto, se podría, por ejemplo, estipular que α = i k 1 y luego escribe ψ C ( X ) = B r mi α X + B yo mi − α X .
El Ansatz es ψ ( X ) = A   mi α X para el complejo A general (distinto de cero) y α . La forma exacta de α y A se determinan a partir de "condiciones de contorno".
Sólo recuerda la fórmula de Euler

Respuestas (1)

Son dos situaciones diferentes del TISE 1 :

  1. Un estado ligado tiene mi < 0 y la función de onda

    (1) ψ ( X )   =   A mi − k | X | , k   :=   − 2 metro mi ℏ   >   0 ,
    disminuye exponencialmente en las regiones asintóticas | X | → ∞ . Una función de onda exponencialmente decreciente es el sello distintivo de la energía cinética negativa, es decir, el efecto túnel cuántico en regiones clásicamente prohibidas.

  2. Un estado de dispersión tiene mi > 0 y la función de onda

    (2) ψ ( X )   =   A + mi i k X + A − mi − i k X , k   :=   2 metro mi ℏ   >   0 ,
    se comporta de forma oscilatoria en las regiones asintóticas | X | → ∞ . Una función de onda oscilatoria es el sello distintivo de la energía cinética positiva, es decir, las regiones permitidas clásicamente.

O alternativamente: tenga en cuenta que cuando la energía mi cambia de signo de negativo a positivo, entonces la raíz cuadrada k en la ec. (1) se vuelve imaginario y puede identificarse con ± i k de la ecuación (2), cf. comentarios de Alfred Centauri y DanielC.

(Por cierto, existe otra relación íntima entre los estados ligados y los estados de dispersión: si continuamos analíticamente con la realidad k en el plano complejo C , entonces los coeficientes de transmisión y reflexión de dispersión tendrán polos en las posiciones k = i k a lo largo del eje imaginario en el complejo k -avión cuando sea k > 0 corresponde a uno de los estados ligados discretos, cf. por ejemplo, ref. 1.)

Referencias:

  1. PG Drazin & RS Johnson, Solitons: An Introduction, 2ª edición, 1989; Sección 3.3.

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1 Fuera de la gravedad, la función potencial V ( X ) sólo es físicamente relevante hasta una constante. Ajustemos aquí, por simplicidad, la constante, de modo que el potencial V ( X ) desaparece en las regiones asintóticas, es decir, supongamos que V ( X ) → 0 para | X | → ∞ .

Gracias, pero tengo más preguntas sobre por qué la ecuación de Schrödinger produce diferentes resultados para la región V=0 para un pozo de potencial finito y una barrera de potencial. Si lo sabe, considere responder, sería muy útil. Muchas gracias. ;)
Actualicé la respuesta.
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