Cálculo de la probabilidad de transmisión de una función de onda entre dos distribuciones delta

Question

Cálculo de la probabilidad de transmisión de una función de onda entre dos distribuciones delta

gama

Dado es el potencial: $V(x) = \frac{-\hbar^2}{m}D\delta(x+a) - \frac{-\hbar^2}{m} D\delta(x-a)$ con $a >0$ y $D > 0$ . Una corriente de partículas del positivo. $x$ -eje están cayendo hacia el potencial y quiero calcular la probabilidad de transmisión. Necesitaría ayuda con las condiciones de contorno. Mi Ansatz es: $\psi_1(x) = Ae^{ikx}+Be^{-ikx}$ por la ola entrante, $\psi_2(x) =Ce^{ikx}+De^{-ikx}$ para la onda entre las distribuciones delta y $\psi_3(x) = Ee^{ikx}+Fe^{-ikx}$ para la función de onda $\psi > a$ con $F = 0$ . Estas son mis condiciones hasta ahora: $\psi_1(-a) = \psi_2(-a)$ $\psi_2(a) = \psi_3(a)$ ¿Cuáles son las otras condiciones? Estaba pensando en calcular primero la matriz de transferencia y luego la transmisión.

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ndrearu · Answer 1

Ok tu ansatz sobre la forma de la $\psi$ . Ahora, las otras condiciones que necesita provienen de la discontinuidad de la derivada a través del potencial delta. Si toma la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo y la integra alrededor de un delta (vea, por ejemplo, aquí los pasos), entonces se puede demostrar que en el caso de un potencial como $V(x)=\gamma\delta(x-x_0)$ la derivada debe poseer una discontinuidad dada por

{\frac{d ψ}{d X} |}_{X \to X_{0}^{+}} - {\frac{d ψ}{d X} |}_{X \to X_{0}^{-}} = \frac{2 metro γ}{ℏ^{2}} ψ (X_{0})

$\left.\frac{d\psi}{dx}\right|_{x\to x_0^+} - \left.\frac{d\psi}{dx}\right|_{x\to x_0^-} = \frac{2m\gamma}{\hbar^2}\psi(x_0)$ en tu caso

| γ | = D ℏ^{2} / m

$|\gamma|=D\hbar^2/m$ y por lo tanto para los dos

δ

$\delta$ si tienes

{\frac{d ψ}{d X} |}_{X \to - a^{+}} - {\frac{d ψ}{d X} |}_{X \to - a^{-}} = - 2 D ψ (- a)

$\left.\frac{d\psi}{dx}\right|_{x\to -a^+} - \left.\frac{d\psi}{dx}\right|_{x\to -a^-} = -2D\psi(-a)$ y

{\frac{d ψ}{d X} |}_{X \to + a^{+}} - {\frac{d ψ}{d X} |}_{X \to + a^{-}} = + 2 D ψ (+ a)

$\left.\frac{d\psi}{dx}\right|_{x\to +a^+} - \left.\frac{d\psi}{dx}\right|_{x\to +a^-} = +2D\psi(+a)$

Como tienes 6 constantes $A,B,\dots,F$ para determinar, estas 2 condiciones más las 2 que escribiste más las $F=0$ nos dejará con un solo parámetro libre que debe ser absorbido en el cálculo de las probabilidades de reflexión y transmisión.

Editar: en la última línea que originalmente escribí incorrectamente $\psi(-a)$ en lugar de $\psi(+a)$ , ahora está corregido.

Porque tienes $+2D(-a)$ cuando $/gamma$ es $\frac{-D\hbar^2}{m}$ ? Cuando trato de resolver esto, obtengo $A = -Be^{2ika}$ ¿Puedes confirmar esto? yo obtengo $B=D$ y $A=C$ al igualar los coeficientes y no estoy muy seguro si esto está permitido. Tampoco estoy seguro de cuál $\psi$ te refieres después del signo igual cuando dices $\frac{d\psi}{dx}_{x\rightarrow a^+}-\frac{d\psi}{dx}_{x\rightarrow a^-} = -2D\psi(-a)$ De hecho, pensé que puedo elegir qué Ansatz me gusta para eso. $\psi$ .
Hice un error tipográfico, lo siento: en la última línea es un $+$ y no un $-$ firmar para que sea $+2D\psi(+a)$ . Probablemente los resultados que encontraste se deban a esto. Corregiré la respuesta.
Pero todavía no entiendo por qué es $+2D\psi(a)$ en lugar de $-2D\psi(a)$ ?
En el potencial que escribiste hay un menos entre los deltas, así que a su vez el menos delante de $\delta(x-a)$ da un $+$ en la discontinuidad.

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