Coeficiente de transmisión de barrera de doble potencial finito

TL; DR : Quiero calcular el coeficiente de transmisión de una partícula que viaja a un sistema finito de barrera de doble potencial y creo que me he quedado atascado por el hecho de que tengo 9 variables desconocidas (amplitudes) y solo 8 ecuaciones. ¿Cómo logro solucionar esto?

Problema

Tengo una partícula (un electrón) con energía mi viajando desde la izquierda hacia un área con dos posibles barreras. El potencial está definido por

V ( X ) = V 1 ⋅ [ Θ ( X ) − Θ ( X − a 1 ) ] + V 2 ⋅ [ Θ ( X − ( a 1 + L ) − Θ ( X − ( a 1 + a 2 + L ]
Dónde Θ ( X ) es la función escalón de Heaviside, a 1 es donde termina la primera barrera (es decir, su longitud), L es el ancho de la separación entre las dos barreras y a 2 es el ancho de la segunda barrera.

Las cantidades conocidas son:

  • V 1 , V 2 , mi
  • a 1 , a 2 , L
  • La masa de partículas metro no está dada por Supongo que se puede decir que es la masa en reposo del electrón.

El objetivo es calcular el coeficiente de transmisión. T .

Mi trabajo

Resolví las ecuaciones para las diferentes secciones y obtuve las siguientes soluciones para la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo

Ψ 1 = A mi i k X + B mi − i k X Ψ 2 = C mi i λ X + D mi i λ X Ψ 3 = F mi i k X + GRAMO mi − i k X Ψ 4 = H mi m X + I mi − m X Ψ 5 = j mi i k X
Dónde k = 2 metro mi h ¯ , λ = 2 metro ( mi − V 1 ) h ¯ , m = 2 metro ( V 2 − mi h ¯ y { A , . . , j } son las amplitudes de las diferentes ondas. He excluido la segunda solución para Ψ 5 como asumo que no hay onda viajando desde la derecha.

Si aplico condiciones de contorno a Ψ i y Ψ i ′ en los puntos X = { 0 , a 1 , a 1 + L , a 1 + a 2 + L } Obtengo 8 ecuaciones separadas, y el objetivo es calcular T = | F | 2 | A | 2 . Como tengo 9 variables desconocidas y 8 ecuaciones separadas, no veo cómo podré resolver esto. Se agradece cualquier ayuda y, si es posible, no quiero la respuesta directa, solo un poco de orientación. :)

Respuestas (2)

Bueno, dado que los estados de dispersión no son normalizables, la función de onda tiene un factor de normalización general arbitrario. El coeficiente de reflexión R = | B | 2 | A | 2 y coeficiente de transmisión T = | j | 2 | A | 2 dependen sólo de las amplitudes relativas. En otras palabras, podemos, por ejemplo, poner la amplitud A = 1 del wlog entrante de la derecha

Estoy leyendo Introducción a la mecánica cuántica de Griffiths y no lo he visto hacer eso allí (al menos en el capítulo 2, donde se presentan los pozos/barreras potenciales). ¿Es elegir una amplitud arbitraria el mejor método aquí? No he visto esto hecho en los documentos sobre el tema que he visto. ¿Se puede hacer de otra manera?

Lo que falta es la normalización. La dificultad aquí es que los primeros capítulos de los libros de QM a menudo no distinguen entre los problemas de valores propios y los problemas de dispersión.

En los problemas de valores propios, el sistema generalmente está acotado en el espacio, los estados están localizados y la normalización toma una forma familiar.

∫ − ∞ + ∞ d X ψ ∗ ( X ) ψ ( X ) = norte ,
dónde norte es el número de partículas (a menudo norte = 1 ).

En los problemas de dispersión, se trata de estados extendidos, donde la normalización por el número de partículas definido anteriormente no tiene sentido o es difícil de implementar. Por lo tanto, se recurre a la normalización por flujo de partículas , es decir, establecer un cierto valor en el valor del flujo/corriente de partículas entrante y/o saliente. En su caso, esto equivaldría a establecer

A = 1.

Tenga en cuenta que los problemas de dispersión también tienen diferentes condiciones de contorno. Por ejemplo, en una dimensión se podrían considerar soluciones incidentes desde la izquierda

ψ ( X ) ∼ mi i k X + r L L mi − i k X ,  cuando  X → − ∞ , ψ ( X ) ∼ t L R mi i k X ,  cuando  X → + ∞ ,
así como las soluciones incidentes por la derecha )
ψ ( X ) ∼ t R L mi − i k X ,  cuando  X → − ∞ , ψ ( X ) ∼ mi i k X + r R R mi i k X ,  cuando  X → + ∞ .
(También se podrían definir en su lugar los estados salientes a la derecha/izquierda ).

Los coeficientes en las condiciones anteriores forman lo que se llama la matriz de dispersión

S = [ t L R r L L r R R t R L ] .
Mientras que en los problemas de valores propios el objetivo es encontrar los estados propios y las energías propias, en los problemas de dispersión el objetivo es encontrar las soluciones de dispersión y la matriz de dispersión anterior para la energía dada de las partículas incidentes.

La teoría de la dispersión es un tema obligatorio en los libros de texto de mecánica cuántica y la base de la teoría cuántica de campos. Sin embargo, en QM su presentación suele postergarse para capítulos posteriores, y suele presentarse para dispersión en potenciales centrales, pero no en una dimensión.

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