Trivialidad del paquete tangente complejizado

Dejar$M = \mathbb{CP}^2\#\overline{\mathbb{CP}^2}$.

Desde$\dim M = 4$, tenemos$TM\otimes_{\mathbb{R}}\mathbb{C} \cong E\oplus\varepsilon^2_{\mathbb{C}}$dónde$E$es un paquete complejo de rango dos - en general, si$V \to X$es un paquete vectorial complejo con$\dim X = 2r$o$2r + 1$y$\operatorname{rank}_{\mathbb{C}}V = r + d$, entonces$V \cong V_0\oplus\varepsilon^d_{\mathbb{C}}$con$\operatorname{rank}_{\mathbb{C}}V_0 = r$. Como con todas las complejizaciones,$\overline{TM\otimes_{\mathbb{R}}\mathbb{C}} \cong TM\otimes_{\mathbb{R}}\mathbb{C}$entonces$c_1(E) = c_1(TM\otimes_{\mathbb{R}}\mathbb{C}) = c_1(\overline{TM\otimes_{\mathbb{R}}\mathbb{C}}) = -c_1(TM\otimes_{\mathbb{R}}\mathbb{C}) = -c_1(E)$; eso es,$c_1(E)$es de dos torsiones. Como$H^2(M; \mathbb{Z}) \cong \mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}$está libre de torsión,$c_1(E) = 0$. Por las respuestas a esta pregunta , el paquete$E$está determinada hasta el isomorfismo por$c_2(E)$. Como$c_2(E) = c_2(TM\otimes_{\mathbb{R}}\mathbb{C}) = -p_1(TM)$y$0 = \sigma(M) = \frac{1}{3}\langle p_1(TM), [M]\rangle$, vemos eso$c_2(E) = 0$entonces$E$es trivial, y por lo tanto$TM\otimes_{\mathbb{R}}\mathbb{C}$es trivial Por otro lado$TM$no es establemente trivial ya que$w_2(TM) \neq 0$.