¿Caracterización alternativa de la trivialidad local de paquetes de vectores?

El comentario de Moishe Kohan contiene la respuesta a la pregunta. Esta wiki de la comunidad lo elabora un poco.

Primero observemos que si$\xi = (E,p,B)$es un paquete pre-vector y$f : X \to B$es una función (no necesariamente continua) en un espacio$X$, obtenemos un paquete pre-vector de retroceso

$$f^*(\xi) = (f^*(E), p^*,X)$$ dónde $$f^*(E) = \bigcup_{x \in X} \{x \} \times p^{-1}(f(x)) \subset X \times E$$ y$p^*$es la restricción de la proyección$X \times E \to X$.

Ahora generalizamos la construcción de la pregunta (ver [1]). Definir

$$\mathbb K^\infty = \{(x_i)_{i \in \mathbb N} \mid x_i \in \mathbb K, x_i = 0 \text{ for almost all } i \} .$$ Este es un espacio vectorial con un producto interno obvio y podemos considerar cada uno$\mathbb K^n$como un auténtico subespacio de$\mathbb K^\infty$. Al hacerlo, tenemos$\mathbb K^\infty = \bigcup_{n \in \mathbb N} \mathbb K^n$.

Para$0 \le m \le \infty$y$k \in \mathbb N$dejar$G_k(\mathbb K^m)$denota el conjunto de todos$k$-subespacios lineales dimensionales de$\mathbb K^m$. Para$m < \infty$estas son las conocidas variedades de Grassmann. Cada$G_k(\mathbb K^n)$es un subespacio genuino de$G_k(\mathbb K^{n+1})$, y definimos$G_k(\mathbb K^\infty) = \bigcup_{n \ge k} G_k(\mathbb K^n)$como un conjunto, y$U \subset G_k(\mathbb K^\infty)$estar abierto si$U \cap G_k(\mathbb K^n)$está abierto en$G_k(\mathbb K^n)$para todos$n$. De este modo$G_k(\mathbb K^\infty)$es el límite directo de la secuencia de espacios$G_k(\mathbb K^n)$unidos por inclusiones.

El paquete tautológico (o canónico)$\gamma^m_k$encima$G_k(\mathbb K^m)$tiene como espacio total

$$E^m_k = \bigcup_{V \in G_k(\mathbb K^m)} \{V\} \times V \subset G_k(\mathbb K^m) \times \mathbb K^m$$ con proyección evidente$\pi$sobre la base. La fibra encima$V \in G_k(\mathbb K^m)$no es otra cosa que$\{V\} \times V$, es decir, una copia de$V \subset \mathbb K^m$. Nuevamente tenemos$E_k^\infty = \bigcup_{n \ge k} E_k^n$. Es bien sabido que$\gamma^m_k$es localmente trivial.

Ahora deja$f : B \to G_k(\mathbb K^m)$ser cualquier función (no necesariamente continua). El paquete pre-vector pullback$f^*(\gamma^m_k)$encima$B$tiene como espacio total

$$f^*(E_k^m) = \bigcup_{b \in B} \{b \} \times \pi^{-1}(f(b)) = \bigcup_{b \in B} \{b \} \times \{f(b)\} \times f(b) \subset B \times G_k(\mathbb K^m) \times \mathbb K^m .$$ En general esto es completamente errático. digamos que$f^*(\gamma^m_k)$se parametriza continuamente si$f$es continuo

Tenga en cuenta, sin embargo, que$f^*(\gamma^m_k)$no es el mismo paquete pre-vector que$\xi(f)$que se definió en la pregunta. Pero$f^*(\gamma^m_k)$se parametriza continuamente si y sólo$\xi(f)$es. Parece que ahora tenemos una interpretación adecuada de "el espíritu de un fibrado vectorial es parametrizar continuamente una familia de espacios vectoriales mediante$B$", al menos para paquetes pre-vectoriales de la forma$f^*(\gamma^m_k)$y$\xi(f)$.

Hecho 1. Si$f^*(\gamma^m_k)$está continuamente parametrizado, entonces es localmente trivial.

Esto es bien conocido. Los pullbacks de paquetes de vectores a lo largo de mapas continuos son siempre paquetes de vectores. Esto muestra que estar continuamente parametrizado es aún más fuerte que localmente trivial.

Hecho 2. Si$f^*(\gamma^m_k)$es localmente trivial, entonces se parametriza continuamente.

Dejar$s_0 : B \to f^*(E_k^m) \subset B \times G_k(\mathbb K^m) \times \mathbb K^m$sea ​​la sección cero que se da$s_0(b) = (b,f(b),0)$. Cada$b \in B$tiene un barrio abierto$U \subset B$tal que la restricción de$f^*(\gamma^m_k)$a$U$es trivial Esto implica que$s_0 \mid_U$es continuo Desde la proyección$p_2 :B \times G_k(\mathbb K^m) \times \mathbb K^m \to G_k(\mathbb K^m)$es continua, vemos que$f \mid_U = p_2 \circ s_0 \mid_U$es continuo De este modo$f$es continuo

Hecho 3. Si$f$es continuo, entonces$f^*(\gamma^m_k)$y$\xi(f)$son isomorfos. En particular,$\xi(f)$es localmente trivial.

Para ver esto, define$\phi_f : B \times \mathbb K^m \to B \times G_k(\mathbb K^m) \times \mathbb K^m, \phi(b,v) = (b,f(b),v)$. Tenemos$\phi_f(E(f)) = f^*(E_k^m)$para que obtengamos un inducido$\phi'_f : E(f) \to f^*(E_k^m)$que es biyección que mapea la fibra sobre$b$en$E(f)$por un isomorfismo lineal a la fibra sobre$b$en$f^*(E_k^m)$. es continua si y si$f$es continuo Siguiente definir$\psi : B \times G_k(\mathbb K^m) \times \mathbb K^m \to B \times \mathbb K^m$como la proyección. Claramente$\psi$es continuo y$\psi(f^*(E_k^m)) = E(f)$. De ahí la restricción$\psi_f : f^*(E_k^m) \to E(f)$es un morfismo de haces pre-vector que es continuo y linealmente isomorfo en fibra. Es un isomorfismo de paquetes pre-vectoriales iff$f$es continuo