En geometría diferencial, ¿por qué tiene sentido que un campo vectorial suave actúe sobre una función suave?

Piensa en lo que es un vector tangente$v$en un punto$x$hace: toma una función$f:M \to \mathbb{R}$y calcula la 'derivada direccional'$v(f)$en la dirección de$v$en el punto$x$. En este sentido,$v$puede pensarse como una función$v:C^\infty(M)\to \mathbb{R}$(Lo que satisface la regla del producto en$x$, y 'realmente' actúa sobre funciones uniformes definidas localmente cerca$x$)

Un mapa$V:M \to TM$, entonces, es una colección de estos mapas de$C^\infty(M)$a$\mathbb{R}$; la pregunta natural es entonces cómo estos mapas varían a medida que nos movemos alrededor de la variedad. es decir, si$f\in C^\infty(M)$es una función y$x,y\in M$, los valores del campo vectorial$V_x$y$V_y$son vectores tangentes en$x$y$y$respectivamente. Entonces, naturalmente, podemos aplicar ambos a$f$; ¿Cuál debe ser la relación entre$V_x(f)$y$V_y(f)$¿ser? A priori no hay razón para creer que realmente debería haber alguna relación entre ellos; pero una forma de definir un campo vectorial suave (o, si está usando otra definición de un campo vectorial suave, un teorema razonablemente sencillo) es decir que el mapa$x\mapsto V_x (f)$, con$V$y$f$fijo y el punto en$M$permite variar, debe ser una función suave. Es esta función la que llamamos$V(f)$, y esto define un mapa$V:C^\infty(M) \to C^\infty(M)$.

Tienes razón, los campos vectoriales suaves son secciones suaves del paquete tangente. Concretamente,$X\colon M\to TM$debe ser suave y ser una sección,$X(m)$debe ser algún vector tangente en$m$, para cualquier$m\in M$. Usualmente denotamos ese vector tangente con$X_m$. Ahora, los vectores tangentes actúan sobre$C^\infty(M)$por definición. Por lo tanto, podemos definir el mapa$\bar X\colon C^\infty(M)\to C^\infty(M)$con$(\bar Xf)(m) = X_mf$. Resulta que$\bar X$es operador lineal y además derivación de álgebra . Se puede demostrar que recíproco también es cierto, cualquier derivación$D$de álgebra$C^\infty(M)$da lugar a un campo vectorial suave.

Realmente estás haciendo dos preguntas diferentes aquí.

$\Gamma (TM)$es un$C^{\infty}$-módulo simplemente porque para cada$f \in C^{\infty}(M)$y$\phi \in \Gamma(TM)$, se puede definir un nuevo campo vectorial$f \phi$definido de la siguiente manera: para$x \in M$,

Por otro lado, el espacio tangente$T_xM$se puede definir como el conjunto de todas las derivaciones sobre los gérmenes de todas las funciones suaves de valores reales en una vecindad de$x$. Entonces, dado$\phi \in \Gamma(TM)$y$f \in C^{\infty}(M)$, podemos definir una función suave de valores reales$\phi(f)$por