¿Cómo mostrar que el paquete tangente es trivial?

Así que estaba estudiando para un examen y encontré este problema de práctica:

Dejar S 1 = { ( X , y ) ∈ R 2 , X 2 + y 2 = 1 } .

i) Demostrar que S 1 es una variedad suave en R 2 (Hecho)

ii) Demuestre que el paquete tangente T S 1 es trivial

Ahora, para ii) sé que puede mostrar que el paquete tangente es trivial si establece un difeomorfismo que conserva la fibra (sin embargo, no estoy tan seguro de cómo hacerlo) o si muestra que T S 1 es isomorfo a S 1 × R .

¿Son estas las únicas dos opciones? ¿Cuáles son algunas herramientas comunes que se pueden usar para mostrar que un paquete tangente es trivial? ¿Cuál es la intuición detrás de esto?

Para pag = ( porque ⁡ t , pecado ⁡ t ) ∈ S 1 , considerar v pag = ( − pecado ⁡ t , porque ⁡ t ) ∈ T pag S 1 = pag ⊥ . Entonces F ( pag , w ) = ( pag , ⟨ v pag , w ⟩ ) es una banalización global de T S 1 .

Respuestas (1)

Una condición equivalente útil es que un norte -colector METRO tiene paquete tangente trivial si y solo si existe un marco global , es decir norte campos vectoriales mi 1 , ⋯ , mi norte que son en todas partes linealmente independientes (en el sentido de que ∀ pag ∈ METRO , mi 1 ( pag ) , ⋯ , mi norte ( pag ) formar una base de T pag METRO ). Esto es equivalente a su definición ya que, dado un marco tan global, hay un isomorfismo ψ : METRO × R norte → T METRO dada por ψ ( pag , v 1 , ⋯ , v norte ) = ∑ i v i mi i ( pag ) .

Para el círculo, esto significa que T S es trivial si admite un campo vectorial tangente no nulo.

¿Cómo puedo determinar ese campo vectorial tangente que no desaparece?
¿Puedes pensar en un campo vectorial en R 2 ¿Qué tangente al círculo unitario y que no desaparece en él? (Intenta hacer un dibujo).
Bueno, creo que para el círculo podría parametrizarlo con x=cos t y y=sen t, y hacer que el campo vectorial tangente sea descrito por el gradiente. Sin embargo, la parte que no desaparece es la que me confunde, ¿cómo puedo confirmar eso?
Bien. Observe que ese campo vectorial tendría la forma V ( X , y ) = ( − y , X ) , y por lo tanto es igual a cero iff X = y = 0 , que no es un punto en el círculo.
ohhh ahora tiene sentido, muchas gracias
¿Es posible hacer esto independientemente de la incrustación del círculo en R 2 ?
@MSIS Es posible, pero dependerá de cómo elija definir el círculo.
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