Clasificación de haces de esferas y haces de vectores sobre una superficie

Las preguntas no son obviamente equivalentes, los paquetes de esferas (ya sean suaves o topológicos) no necesariamente provienen de paquetes de vectores. El primer contraejemplo a esto aparece en la dimensión 4 gracias al trabajo de Watanabe.

En cuanto a la primera pregunta, es fácil demostrar que si quita un disco de una superficie, todos los paquetes de vectores orientables sobre la superficie son triviales. Por lo tanto, eligiendo un mapa$S^1 \rightarrow SO(n)$, podemos obtener todos los paquetes sobre una superficie cerrada pegando un paquete trivial sobre el disco a un paquete trivial sobre la superficie perforada a través del mapa.

Sabemos$\pi_1(SO(n))$es trivial si$n=1$, es$\mathbb{Z}$si$n=2$, es$\mathbb{Z}/2$si$n\geq 3$. De hecho, uno puede usar clases características para ver la asignación$\pi_1(SO(n)) \rightarrow \operatorname{Vect}_n(S_g)$es inyectable también. En particular, si$n=1$esto es trivial, si$n=2$es detectado por la primera clase de Chern, y si$n \geq 3$es detectado por la segunda clase de Stiefel-Whitney.

Entonces en dimensiones$\leq 3$sabemos que la respuesta es la misma para los paquetes de esferas, pero tan pronto como llegamos a dimensiones más altas, se vuelve mucho más difícil. El ingrediente fundamental seguirá siendo$\pi_1$de$\operatorname{Homeo}_+(S^n)$o$\operatorname{Diff}_+(S^n)$. Quizás ya se sabe si$n \neq 4$eso$\pi_1(SO(n)) \rightarrow \pi_1(\operatorname{Diff}_+(S^n)) \rightarrow \pi_1(\operatorname{Homeo}_+(S^n))$es un isomorfismo. En este caso, el mismo argumento daría la misma clasificación.