Distribución de un rango sobre una variedad suave

Aquí hay un modelo para generar ejemplos de distribuciones que no están abarcadas por un campo vectorial global: Suponga$\dim M\ge 2$, toma un bucle$c$en$M$y definir un campo vectorial$X$a lo largo de$c$que realiza una rotación por$\pi$a medida que te mueves$c$. De esa manera$X$solo será continua en$c\backslash \{p_0\}$por algún punto$p_0$, donde gira en la dirección opuesta. Entonces$X$todavía define una distribución suave$D_0$a lo largo de$c$y la pregunta es si esto se puede extender a una distribución$D$en todos$M$. Si este es el caso, entonces$D$no puede ser abarcado por un campo vectorial globalmente continuo.

En general, existe una obstrucción topológica para extender$D_0$(ver más abajo) - posiblemente la única obstrucción, pero eso no lo sé. Sin embargo, ahora es fácil preparar un ejemplo particular de lo que está buscando: Tome$M$los dos toros y$c$un bucle no trivial, entonces$D_0$simplemente se puede extender haciéndolo constante a lo largo de los bucles perpendiculares. (Esto no debería ser difícil de hacer riguroso).

La obstrucción topológica:

Si$M$está simplemente conectado (o más generalmente si$\pi_1(M)$no tiene ningún subgrupo de índice 2), entonces$D$proviene de un campo vectorial global. Para ver esto, ver$D\rightarrow M$como un haz de vectores en sí mismo y considerar el 'haz de esferas'$SD\rightarrow M$(digamos que pones una métrica en$M$, entonces$SD_x:=\{(x,\xi)\in T_xM\vert ~\xi\in D_x, \vert \xi \vert =1\})$. Desde$D$tiene rango$1$, la fibra$SD_x$consta exactamente de dos puntos, por lo tanto$SD\rightarrow M$es un espacio de cobertura. Los espacios simplemente conectados no tienen cubiertas conectadas, por lo tanto$SD\cong M \coprod M$y en particular existe una sección global de$SD\rightarrow M$, en otras palabras, un campo vectorial que se desvanece ahora en cualquier parte y que integra$D$.

Por el "teorema de la bola peluda", tal distribución, por ejemplo, no puede definirse globalmente en ningún$2n$-esfera.