trivialidad de paquetes de vectores con la homología reducida del espacio base completamente torsión

Para la Pregunta 1, tenga en cuenta primero que es importante que el espacio base del paquete vectorial sea de dimensión finita, como se puede ver al observar el paquete de líneas canónicas$\gamma$encima${\mathbb R}P^\infty$desde$w_k(\gamma^{\oplus k})$es distinto de cero para todos$k\geq 1$, entonces$\gamma^{\oplus k}$ni siquiera es establemente trivial.

Por otro lado, para un paquete vectorial$\xi$sobre un espacio base$X$que es un complejo finito (CW o simplicial) con$H^i(X)$finito para todos$i>0$entonces alguna suma$\xi^{\oplus k}$es trivial Esto puede probarse mediante un argumento de la teoría de la obstrucción. Empezar,$\xi\oplus\xi$es orientable, por lo tanto es trivial sobre el 1-esqueleto de$X$. Llame a este paquete$\xi_1$. La obstrucción a$\xi_1$siendo trivial sobre el 2-esqueleto es$w_2$, al menos si$\xi_1$tiene una dimensión de al menos 3 que se puede arreglar reemplazando el original$\xi$por$\xi\oplus\xi$. De este modo$\xi_2=\xi_1\oplus\xi_1$será trivial sobre el 2-esqueleto, y por lo tanto también sobre el 3-esqueleto ya que$\pi_2SO(n)=0$. Tenga en cuenta que no hemos utilizado la finitud de ninguno de los grupos.$H^i(X)$todavía, pero en cambio la finitud de los primeros grupos de homotopía de$SO(n)$.

Ahora procedemos inductivamente. Supongamos que tenemos un paquete$\xi_n$que es una suma de copias de$\xi$y que es trivial sobre el$n$-esqueleto de$X$. Elegir una trivialización sobre la$n$-esqueleto, la obstrucción para extender esta trivialización sobre un$(n+1)$-cell es un elemento de$\pi_nSO(k)$para$k$la dimensión de$\xi_n$. Por la teoría de la obstrucción, estos elementos definen un celular$(n+1)$-cochain en$X$con coeficientes en$\pi_nSO(k)$que es de hecho un cociclo. Al volver a elegir el encuadre en$n$-cells podemos reemplazar este cociclo por cualquier otro en la misma clase de cohomología. En particular, si la clase de cohomología es cero, el paquete$\xi_n$es trivial sobre el$(n+1)$-esqueleto. Este no tiene por qué ser el caso inicialmente, pero dado que asumimos que los grupos de cohomología de$X$son finitos, hay algún múltiplo$m$del cociclo de obstrucción que es cofrontera. si reemplazamos$\xi_n$por$\xi_{n+1}=\xi_n^{\oplus m}$entonces no es difícil comprobar que la obstrucción circula por$\xi_{n+1}$se convierte en cero en la cohomología. (Hay tres formas de agregar clases en$\pi_n$de grupos ortogonales: (1) la adición usual en$\pi_n$, (2) usando la estructura de grupo en los grupos ortogonales, y (3) formando sumas directas de matrices. Todos estos coinciden, después de formar la suma directa en el tercer caso.) Así$\xi_{n+1}$es trivial sobre el$(n+1)$-esqueleto, terminando el paso de inducción cuando$X$es un complejo finito. El ejemplo con${\mathbb R}P^\infty$muestra que es posible que no podamos llevar la inducción a través de un número infinito de pasos. Si$X$fueran de dimensión finita pero no finitos, uno sería capaz de terminar si hubiera un límite superior en los órdenes de los elementos de$H^i(X)$para$i>0$.

Pregunta 1: trivialidad estable de algún múltiplo$\xi^{\oplus k}$sigue bajo la condición dada de homología de la secuencia espectral de Atiyah-Hirzebruch para la teoría K, lo que da que$\tilde{K}(X)$es torsión.

Pregunta 2: Desaparición de las clases de Pontryagin de$\xi$muestra la trivialidad estable de algunos múltiplos$\xi^{\oplus k}$: La razón es que los paquetes de vectores estables están dados por mapas para$BO$, y racionalmente$BO$es un producto de los espacios de dimensión de Eilenberg-MacLane$4j$, correspondiente a las clases de Pontryagin.

Finalmente, para cada paquete de vectores establemente trivial$\eta$, algunos múltiples$\eta^{\oplus k}$es trivial Este es un teorema de Lam: LAM, Serie TY sumatoria de módulos libres estables, QJ Math (1976) 27 (1): 37-46. doi: 10.1093/qmath/27.1.37