¿Los subpaquetes de línea del paquete tangente de una variedad son triviales?

Estaba bastante seguro de este resultado, pero no sé cómo probarlo. Vuelvo a formular la pregunta:

¿Cualquier subpaquete de línea suave (o distribución unidimensional igualmente suave) del paquete tangente de una variedad es siempre trivial? Es decir, una vez que tiene una distribución de 1 dimensión en una variedad, puede tener un campo vectorial que no se desvanece en ninguna parte.

¿Cómo probar?

¡Gracias de antemano!

¿Tienes alguna razón para pensar que es verdad? ¿Puedes decir algo sobre cómo surge la pregunta (especialmente, es esta tarea)?
¡Buena pregunta! En el libro de JM Lee, Introducción a las variedades riemannianas (2ª), P44, el teorema 2.69 dice que una variedad admite la existencia de la métrica de Lorentz si y solo si admite una distribución tangente de 1 dim. Pero sabemos que tal métrica de Lorectz existe si y solo si hay un campo vectorial que no desaparece, que puede encontrar en O'Neil, Semi-Riemannian Geometry with Applications to General Relativity página 149. Sin embargo, creo que el último resultado es correcto. , pero no puedo ver por qué la distribución 1-dim puede implicar un campo vectorial que no desaparece.

Respuestas (2)

Esto no es verdad. Considere la botella de Klein k .

Como k es una variedad cerrada con x ( k ) = 0 , admite un campo vectorial cero en ninguna parte. El complemento ortogonal de dicho campo vectorial es un subhaz de líneas L de T k . Si L eran triviales, entonces T k ≅ L ⊕ ε 1 Sería trivial, pero esto es imposible ya que k no es orientable.

Sin embargo, como ilustra este ejemplo, si T METRO admite un subhaz de líneas, entonces también admite un subhaz de líneas trivial, es decir METRO admite un campo vectorial cero en ninguna parte. Ver esta respuesta .

¡Maravilloso Maravilloso!
"Si METRO admite un subhaz de línea, entonces también admite un subhaz trivial” - ¿Es esto específico para paquetes de vectores suaves, o también se aplica a los holomorfos o algebraicos?
@pyon: es específico para variedades suaves (no paquetes suaves, ya que la declaración no es cierta para ellos). Por ejemplo, T C PAG 1 es un haz de líneas holomorfo, en particular, admite un subhaz de líneas (él mismo). Sin embargo, T C PAG 1 no admite un subhaz de línea trivial como T C PAG 1 no es trivial.
Oh, duh... ¿Cómo podría pasar por alto el ejemplo más simple? ¡Gracias!

La foliación no orientable debajo del disco perforado muestra que un 1 -La distribución dimensional generalmente no tiene una sección continua que se desvanece en ninguna parte.

Eso no significa que el disco perforado no tenga un campo vectorial que no desaparezca, por supuesto, solo significa que generalmente no podemos seleccionar un campo vectorial continuo que no desaparezca de una distribución dada .

El campo de líneas en una tira de Möbius es otro ejemplo, pero el disco perforado puede ser más impresionante ya que su fibra tangente es trivial.

Una foliación del disco perforado que no induce un campo vectorial que no desaparece

¡Esto es muy impresionante! Supongo que mis preocupaciones originales sobre este problema deberían ser claras, sin embargo, no puedo evitar preguntar si la existencia de una distribución de 1 dim implica un campo vectorial que no desaparece, sin restricciones en esa distribución. ¿Supongo que esto es muy difícil y no siempre es cierto?
¿Los subpaquetes de línea del paquete tangente de una variedad son triviales?
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