Suponer es una variedad de dimensión . Dejar sea un subhaz del haz tangente de rango . También llamamos a este subpaquete una distribución. Quiero mostrar que localmente existe una subvariedad integrable de dimensión . La razón por la que estoy tratando de probar esto es porque he oído que las estructuras de contacto están lo más lejos posible de ser integrables y, sin embargo, tienen esta propiedad. Entonces me pregunto si este mínimo siempre se logra.
Mi intento:
Primero, dado que la pregunta es local, podemos pensar en el caso del paquete trivial. Entonces, si podemos encontrar un subhaz dimensional de la distribución que es involutivo lo haríamos usando el teorema de Frobenius. Ahora aquí es donde estoy atascado, es decir, no puedo encontrar un subpaquete de este tipo. Cualquier sugerencia es apreciada. Gracias.
Conocí una solución de mi profesor.
Solo estamos buscando localmente, por lo que consideramos una sección del paquete normal de la distribución, digamos . Ahora definimos una forma sobre la distribución dada por . Ahora claramente esto está alternando. Ahora si esto es degenerado vamos ser el núcleo de la dimensión . Entonces considera , entonces es simple en esto. Así que ahora sabemos que hay una base simpléctica tal que es cero en . Esto significa precisamente que el corchete de mentira se encuentra en la distribución atravesada por estos vectores. ahora agregando obtenemos que hay una subdistribución involutiva de rango . El peor de los casos ocurre cuando en cuyo caso la subdistribución solo tendrá rango .