Ejemplos de espacios con solo paquetes de vectores triviales

Proposición: Supongamos$B$es una variedad cerrada para la cual cada fibrado vectorial sobre$B$es trivial Entonces cada uno de los siguientes debe ser verdadero:

1. $B$debe ser orientable.
2. $B$debe ser de dimensiones impares.
3. El primer grupo de homología integral debe desaparecer.
4. $B$debe tener la homología racional de una esfera.

Prueba: $1.$Si$B$no es orientable, entonces el fibrado tangente de$B$es un paquete vectorial no trivial.

$2.$Si$B$es incluso dimensional (y orientable), entonces tiene un mapa$f:B\rightarrow S^{\dim B}$de grado$1$(al colapsar todo lo que está fuera de una pequeña bola en un punto). El haz tangente a$S^{\dim B}$tiene una clase de Euler no trivial, por lo que el retroceso a lo largo$f$de este paquete a$B$también tiene una clase de Euler no trivial, por lo tanto, no es trivial.

$3.$Asumir$H_1(B)\neq 0$. Si$H_1(B)$contiene un elemento de torsión, por Coeficientes Universales,$H^2(B)$contiene un elemento de torsión. En particular, hay un mapa no trivial$f:B\rightarrow \mathbb{C}P^\infty$. Tirando hacia atrás del paquete tautológico$\mathbb{C}P^\infty$da un paquete de vectores sobre$B$cuya clase de Euler es este elemento de torsión. Entonces, este conjunto de vectores no es trivial.

Así, podemos suponer$H_1(B)$está libre de torsión. Esto implica entonces$H^1(B;\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$no es trivial, por lo que hay un conjunto de líneas no trivial sobre$B$.

$4.$podemos suponer$B$es orientable y de dimensiones impares. Asumir$H_d(B;\mathbb{Q})\neq 0$para algunos$0<d<\dim B$. Si$d$es raro entonces$\dim B-d$es par, y la dualidad de Poincaré y los coeficientes universales implican ambos$H^d(B;\mathbb{Q})$y$H^{\dim B-d}(B;\mathbb{Q})$no son triviales. Del apéndice de este artículo de Belegradek y Kapovitch , hay un conjunto de vectores sobre$B$con clase de Euler no trivial en cualquier grado$d$o grado$\dim B-d$, lo que sea par.$\square$

En general, las condiciones anteriores no son suficientes. Por ejemplo, aparte de la dimensión$7$, una esfera de dimensiones impares satisface todas las condiciones anteriores, pero tiene un haz tangente no trivial. en dimensión$7$, el$7$-sphere admite otros paquetes de vectores no triviales. Por ejemplo,$\pi_6(S^3)\cong \pi_6(SO(3))$no es trivial, por lo que hay rango no trivial$3$paquetes más$S^7$.

Por otro lado, en la dimensión$3$, condición$3$arriba es realmente suficiente.

Proposición: Supongamos$B$es un cerrado$3$-variedad dimensional con$H_1(B) = 0$. Entonces todos los paquetes de vectores$B$son triviales.

prueba _ Dejar$\xi$ser un paquete vectorial de rango$k$encima$B$. Tal paquete de vectores se clasifica mediante un mapa$\phi:B\rightarrow BO(k)$. Porque$H_1(B) = 0$,$H^1(B;\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}) = 0$. De este modo,$w_1(\xi) = 0$, entonces$\phi$ascensores a un mapa (todavía indicado por$\phi$)$\phi:B\rightarrow BSO(k)$. Desde$BSO(1)$es un punto, ahora podemos suponer$k\geq 2$.

Desde$H_1(B) = 0$,$B$debe ser orientable, por lo que la dualidad de Poincaré implica ahora que$H^2(B) = 0$. Así, si$k=2$, la clase de Euler desaparece, por lo que el paquete es trivial.

Así, podemos suponer$k\geq 3$. Desde$H^2(B) = 0$, ahora se sigue que$H^2(B;\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}) = 0$, entonces$w_2(\xi) = 0$. Esto implica$\phi$más ascensores a un mapa$\phi:B\rightarrow BSpin(k)$. Pero para$k\geq 3$,$Spin(k)$es$3$-conectado. Resulta que$\phi$es homotópicamente trivial, entonces$\xi$es trivial$\square$

Tenga en cuenta que esta proposición se aplica a$S^3$y también el Espacio Dodecaédrico de Poincaré, pero también a muchos más espacios. Vea, por ejemplo, las respuestas y referencias a esta publicación de MO.

No conozco otro ejemplo cerrado que no sean los de dimension$3$.

EDITAR

En la pregunta correspondiente sobre Mathoverflow, agregué una respuesta que contiene otra obstrucción: si$M$es una variedad cerrada simplemente conexa que admite solo fibrados vectoriales triviales, entonces$\dim M = 3$o$H^\ast(M)$debe contener elementos no triviales$2$-torsión.