Superficies Seifert de nudos

En primer lugar, revisar el significado de$[K]$, para cualquier nudo orientado$K$en cualquier espacio topológico$X$, hay una clase de homología correspondiente en$H_1(X)$que voy a denotar$[K]_X$, y se define así: Elige una orientación conservando el homeomorfismo$f : S^1 \to K$, considere el homomorfismo de homología inducido

$$\mathbb Z = H_1(S^1) \xrightarrow{f_*} H_1(K) \xrightarrow{i_*} H_1(X)$$ dónde$i$es el mapa de inclusión, y define $$[K]_X = (i_* \circ f_*)(1) = (i \circ f)_*(1)$$

Ahora, tal vez haya hecho el ejercicio de topología algebraica para probar que si$F$es una superficie compacta, orientada y$K$es su círculo límite entonces$[K]_F=0$.

Este ejercicio se aplica a su situación, porque una superficie de Seifert de$K$en$M$es solo la inclusión$F \xrightarrow{j} M$de alguna superficie compacta y orientada$F$en$M$tal que$K$es el límite de$F$.

Entonces, para responder a su pregunta, considere la composición

$$S^1 \xrightarrow{f} K \xrightarrow{i} F \xrightarrow{j} M$$ Del ejercicio de topología algebraica se sigue que$[K]_F=0$. Desde$j \circ i : K \to M$es simplemente el mapa de inclusión de$K$en$M$, resulta que $$[K]_M = ((j \circ i) \circ f)_*(1) = j_*((i \circ f)_*(1)) = j_*([K]_F) = j_*(0)=0$$ El segundo signo igual es una simple aplicación de las propiedades funcionales de los homomorfismos de homología inducidos.