Definición de suma conexa y problema de orientación

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Definición de suma conexa y problema de orientación

Matemáticas
Topología algebraica
topología geométrica
topología diferencial
topología de baja dimensión

desbordante

Estoy leyendo el libro de Kosinski. Para definir la suma conexa de $M_1^n$ y $M_2^n$ (variedades orientadas y cerradas) elegimos dos incrustaciones del disco $h_i:\mathbb{D}^n\to M_i$ tal que $h_1$ conserva la orientación y $h_2$ invertirlo entonces podemos construir la variedad del cociente

\frac{{METRO}_{1} ∖ h_{1} (0) ⊔ {METRO}_{2} ∖ h_{2} (0)}{\sim}

$\frac{M_1\setminus h_1(0) \sqcup M_2\setminus h_2(0)} \sim$ dónde

x \in h_{1} (D^{n}) \sim h_{2} (\frac{h_{1}^{- 1} (x)}{| | h_{1}^{- 1} (x) | |^{2}}) \in h_{2} (D^{n})

$x\in h_1(\mathbb{D}^n) \sim h_2(\frac{h_1^{-1}(x)}{||h_1^{-1}(x)||^2})\in h_2(\mathbb{D}^n)$ . Ahora Kosinski muestra que esta construcción no depende de la elección de las incrustaciones porque sabemos que todas las incrustaciones de

D^{n}

$\mathbb{D}^n$ que conservan la orientación son isotópicas.

Sin embargo, de esto se deduce que podemos eliminar la suposición de que $h_i$ debe conservar (o no) la orientación en la definición de suma conexa que no debe imponer restricciones a la positividad del difeomorfismo.

Explico por qué. si digo, $h_1$ no conserva la orientación, solo cambiamos la orientación en $M_1$ y obtenemos una orientación que conserva la incrustación. Entonces

si $(-M_1)\sharp M_2$ es difeomorfo a $M_1\sharp M_2$

hemos mostrado que para la definición no es necesario considerar la orientación. ¿Tengo razón?

Respuestas (1)

Definición de suma conexa y problema de orientación

usuario98602 · Answer 1

usuario98602

No, esas dos variedades no siempre son difeomorfas, ni siquiera homotópicas equivalentes. El contraejemplo más simple generalmente se da como $\Bbb{CP}^2 \# \overline{\Bbb{CP}}^2$ y $\Bbb{CP}^2 \# \Bbb{CP}^2$ . Uno tiene la firma 2, el otro tiene la firma 0.

Si una de las variedades no es orientable, entonces solo hay una incrustación del disco hasta la isotopía, y la elección de la incrustación del disco en la otra variedad no importa.

Es una casualidad que pueda ignorar esto para las superficies, donde cada superficie admite una orientación que invierte el autodifeomorfismo.

jason de vito

¿Conoces algún ejemplo de cerrado orientable (simplemente conectado?)

M

$M$ y

N

$N$ que no admiten orientaciones inversas, pero sin embargo

M ♯ N

$M\sharp N$ y

M ♯ \bar{N}

$M\sharp \overline{N}$ son difeomorfos?

usuario98602

@JasonDeVito No, pero seguramente existen, ya que no hay una descomposición prima de alta dimensión de variedades en sumandos conectados.

jason de vito

No estaba al tanto del resultado que acabas de citar. Pero aquí hay un ejemplo. De acuerdo con arxiv.org/pdf/1708.06582.pdf (comentario 2.8), hay un

1240

$1240$ -esfera exótica dimensional

Σ^{1240}

$\Sigma^{1240}$ de orden

7

$7$ para cual

H P^{310} ♯ Σ ♯ . . . ♯ Σ ≅ H P^{310}

$\mathbb{H}P^{310}\sharp \Sigma \sharp ...\sharp \Sigma \cong \mathbb{H}P^{310}$ para cualquier número de

Σ

$\Sigma$ sumandos Ahora bien, una esfera exótica admite una orientación inversamente diferente si su orden es

2

$2$ , entonces

Σ

$\Sigma$ trabaja para

N

$N$ . Más,

H P^{k}

$\mathbb{H}P^k$ no admite una orientación inversa difeo para

k > 1

$k > 1$ (desde

p_{1}

$p_1$ no es trivial), por lo que esto funciona para

M

$M$ .

jason de vito

Y, como estoy seguro de que sabes,

\bar{Σ} ≅ \underset{6 t i m e s}{\underset{⏟}{Σ ♯ . . . ♯ Σ}}

$\overline{\Sigma}\cong \underbrace{\Sigma \sharp ... \sharp \Sigma}_{6\text times}$ . Finalmente, esta es la primera vez en mi vida que uso un ejemplo cuya dimensión es de miles. ¡Día divertido!

desbordante

Gracias Mike, 1) ¿cómo puedo ver ese hecho sobre

{C P}^{2}

$\mathbb{CP}^2$ ? 2) ¿Puede proporcionarme algunas buenas referencias/encuestas/libros sobre topología diff/de baja dimensión donde puedo encontrar todas estas cosas?

usuario98602

@WarlockofFiretopMountain Una vez que conoce la definición de firma, es inmediato al conocer el anillo de cohomología de los dos factores.

usuario98602

Tal vez @Jason conozca una buena referencia, pero yo no... la mayoría de las cosas son más especializadas. Supongo que me gustan Gompf y Stipsicz.

jason de vito

@WarlockofFiretopMountain: El libro de Kosinski "Differential Manifolds" tiene muchas de estas cosas sobre sumas conectadas, así como algunos de los hechos que usé sobre esferas exóticas.

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usuario98602

jason de vito

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jason de vito

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usuario98602

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