¿Existe una clasificación de homeomorfismo general de 4-variedades topológicas contráctiles (posiblemente con límite o no compactas)?
En el caso compacto, cualquier variedad de este tipo tiene una homología de 3 esferas como límite (según Wikipedia ). Las 3 esferas de homología se pueden clasificar (a través de la geometrización de 3 variedades), por lo que tal vez también haya esperanza para una clasificación de los interiores.
Si trabaja en la categoría topológica y asume que sus variedades son compactas, entonces dos variedades compactas contráctiles de 4 con límites homeomorfos son homeomorfos. Esto se deduce, por ejemplo, del principal resultado de clasificación de Richard Stong:
R. Stong, 4-variedades simplemente conectadas con un límite dado. Aplicación de topología 52 (1993), núm. 2, 161–167.
En términos generales, Stong extendió el teorema de clasificación de Freedman al caso de 4-variedades compactas simplemente conectadas con límite.
(El caso especial de las variedades contráctiles podría haberse conocido antes, no estoy seguro).
Por lo tanto, si cree que las esferas de homología de enteros tridimensionales están "clasificadas", entonces también lo están las 4 variedades compactas topológicas contráctiles. (Personalmente, considero que el problema de clasificación de las esferas de homología de enteros que son 3 variedades hiperbólicas es irremediablemente complicado. Pero módulo este problema, sí, "sabemos" qué son las esferas de homología tridimensional). Por supuesto, una clasificación hasta el difeomorfismo de 4-variedades suaves con el límite dado está más allá del alcance en este punto.
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Santana Afton
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