Trayectoria de un nadador que intenta llegar a la orilla opuesta [cerrado]

Question

Trayectoria de un nadador que intenta llegar a la orilla opuesta [cerrado]

Abhishek Bakshi

Me encontré con la siguiente pregunta hace 2 días:

$Q$ . Un nadador está nadando en un río con una velocidad $u$ con respecto a la velocidad del agua que es $v$ . Se supone que el río tiene orillas rectas y paralelas y que la velocidad del agua es la misma en todos los puntos y tiene una dirección paralela a las orillas. Suponga que el nadador comienza a nadar en un punto $A$ . Siempre se enfrenta a un punto. $B$ en la orilla opuesta. $B$ es el punto directamente opuesto a $A$ . Encuentre la trayectoria del nadador. el ancho del rio es $w$ .

Asumí ese punto $A$ es el origen, es decir, $A\equiv (0,0)$ y $B\equiv (0,w)$ . Digamos que el nadador está en el punto $P\equiv (x,y)$ en algún momento del tiempo. En ese punto, forma un ángulo $\theta$ con la horizontal con respecto al punto $B$ . Por lo tanto $\cos\theta=\frac x{\sqrt{x^2+(w-y)^2}}$ y $\sin\theta=\frac {w-y}{\sqrt{x^2+(w-y)^2}}$ . Ahora tengo las siguientes dos ecuaciones: -

\frac{d X}{d t} = v - tu porque θ = v - \frac{tu X}{\sqrt{X^{2} + (w - y)^{2}}} a norte d \frac{d y}{d t} = tu pecado θ = \frac{tu (w - y)}{\sqrt{X^{2} + (w - y)^{2}}}

$\frac {dx}{dt}=v-u\cos\theta=v-\frac {ux}{\sqrt{x^2+(w-y)^2}}\quad and \quad\frac {dy}{dt}=u\sin\theta=\frac {u(w-y)}{\sqrt{x^2+(w-y)^2}}$ Dividiéndolos obtuve esta ecuación diferencial: -

\frac{d y}{d X} = \frac{tu (w - y)}{v \sqrt{X^{2} + (w - y)^{2}} - tu X}

$\frac {dy}{dx}=\frac {u(w-y)}{v\sqrt{x^2+(w-y)^2}-ux}$ ¿Cómo resuelvo esta ecuación diferencial? ¿Hay alguna solución que no use cálculo en este tipo de preguntas? También puede utilizar el hecho de que

\frac{d}{d t} (\sqrt{X^{2} + (w - y)^{2}}) = v porque θ - tu = \frac{v X}{\sqrt{X^{2} + (w - y)^{2}}} - tu

$\frac d{dt}(\sqrt{x^2+(w-y)^2})=v\cos\theta-u=\frac {vx}{\sqrt{x^2+(w-y)^2}}-u$

innisfree

Si alguna vez llega al punto

B

$B$ , tendría que moverse directamente hacia

B

$B$ . Eso significa

{\vec{v}}_{swimming} + {\vec{u}}_{current} = {\vec{v}}_{towards B} + {\vec{u}}_{current} = k v_{towards B}

$\vec v_{\text{swimming}} + \vec u_{\text{current}} = \vec v_{\text{towards B}} + \vec u_{\text{current}} = k v_{\text{towards B}}$

Abhishek Bakshi

Nunca dije que llega al punto

B

$B$ , solo dije que se enfrenta

B

$B$ en cualquier momento..

innisfree

Nunca dije que llega al punto

B

$B$ tampoco ;) hay un caso trivial en el que no puede nadar contra la corriente y se desplaza río abajo para siempre. De lo contrario, se acerca

B

$B$ horizontalmente. Sin embargo, no estoy seguro exactamente de dónde golpea el banco (probablemente una distancia infinitesimal de

B

$B$ )

Abhishek Bakshi

Ese caso no es diferente para el cálculo de la ecuación de la trayectoria... de todos modos... perdón por malinterpretar tu comentario...

Respuestas (1)

Trayectoria de un nadador que intenta llegar a la orilla opuesta [cerrado]

Si alguna vez llega al punto $B$ , tendría que moverse directamente hacia $B$ . Eso significa $\vec v_{\text{swimming}} + \vec u_{\text{current}} = \vec v_{\text{towards B}} + \vec u_{\text{current}} = k v_{\text{towards B}}$
Nunca dije que llega al punto $B$ , solo dije que se enfrenta $B$ en cualquier momento..
Nunca dije que llega al punto $B$ tampoco ;) hay un caso trivial en el que no puede nadar contra la corriente y se desplaza río abajo para siempre. De lo contrario, se acerca $B$ horizontalmente. Sin embargo, no estoy seguro exactamente de dónde golpea el banco (probablemente una distancia infinitesimal de $B$ )
Ese caso no es diferente para el cálculo de la ecuación de la trayectoria... de todos modos... perdón por malinterpretar tu comentario...

innisfree · Answer 1

Déjame suponer que el nadador comienza en un punto $I = (\omega, 0)$ y que tu destino es el origen $F = (0,0)$ - Creo que algunas de las ecuaciones son más simples si la posición inicial, en lugar de la posición de destino, está en el origen. En mis coordenadas, la orilla del río está en el $y$ -dirección.

El río fluye a gran velocidad. $v$ y la velocidad del nadador es $u$ . tenemos eso

\begin{aligned} \dot{X} = & - tu porque θ \\ \dot{y} = & - tu pecado θ + v \end{aligned}

$\begin{align} \dot x =& -u\cos\theta\\ \dot y =& -u\sin\theta + v \end{align}$ finalmente queremos

y (x)

$y(x)$ para que podamos trazar la trayectoria de los nadadores. Podemos escribir eso

\frac{d y}{d X} = \frac{\dot{y}}{\dot{X}} = broncearse θ - \frac{v}{tu} \frac{1}{porque θ} = \frac{y}{X} - \frac{v}{tu} \sqrt{1 + {(\frac{y}{X})}^{2}}

$\frac{dy}{dx} = \frac{\dot y}{\dot x} = \tan\theta - \frac vu \frac1{\cos\theta} = \frac yx - \frac vu \sqrt{1 + \left(\frac yx\right)^2}$ Ahora deja

p = \frac{y}{x}

$p = \frac yx$ tal que

\frac{d y}{d x} = p + x \frac{d p}{d x}

$\frac{dy}{dx} = p + x\frac{dp}{dx}$ . Encontramos

\begin{aligned} pag + X \frac{d pag}{d X} = & pag - \frac{v}{tu} \sqrt{1 + {pag}^{2}} \\ - \frac{v}{tu} \frac{d X}{X} = & \frac{d pag}{\sqrt{1 + {pag}^{2}}} \end{aligned}

$\begin{align} p + x\frac{dp}{dx} =& p - \frac vu \sqrt{1 + p^2}\\ - \frac vu \frac{dx}{x} =& \frac{dp}{\sqrt{1 + p^2}} \end{align}$ Puede integrar el RHS con la sustitución

p = \tan θ

$p=\tan \theta$ .

\begin{aligned} \int \frac{d pag}{\sqrt{1 + {pag}^{2}}} & = \int \frac{{segundo}^{2} θ d θ}{segundo θ} \\ = \int segundo θ d θ \\ = en (segundo θ + broncearse θ) + C \\ = en (\sqrt{1 + {pag}^{2}} + pag) + C \end{aligned}

$\begin{align}\int {\frac{dp}{\sqrt{1 + p^2}}}&=\int {\sec^2 \theta d\theta \over \sec \theta}\\&=\int{\sec\theta d\theta}\\&=\ln(\sec\theta+\tan\theta)+C\\&=\ln(\sqrt{1+p^2}+p)+C\end{align}$ Por eso

- \frac{v}{tu} en X = en (\sqrt{1 + {pag}^{2}} + pag) + C

$- \frac vu \ln x = \ln(\sqrt{1 + p^2} + p) + C$ que puedes resolver para encontrar que

pag = \frac{1}{2} [{mi}^{C} X^{- v / tu} - {mi}^{- C} X^{v / tu}]

$p = \frac12 \left[ e^C x^{-v/u} - e^{-C} x^{v/u}\right]$ Finalmente puedes encontrar que

y = \frac{1}{2} [{mi}^{C} X^{1 - v / tu} - {mi}^{- C} X^{1 + v / tu}]

$y = \frac12 \left[ e^C x^{1-v/u} - e^{-C} x^{1+v/u}\right]$ Ahora pon tu condición inicial de que

y (ω) = 0

$y(\omega) = 0$ , puedes resolver para

C

$C$ y encuentra eso,

y = \frac{ω}{2} [{(\frac{X}{ω})}^{1 - v / tu} - {(\frac{X}{ω})}^{1 + v / tu}]

$y = \frac\omega2 \left[ \left(\frac{x}{\omega}\right)^{1-v/u} - \left(\frac{x}{\omega}\right)^{1+v/u}\right]$

Si $v/u < 1$ , el nadador golpea el objetivo desde una dirección paralela a la orilla del río, golpeando la orilla exactamente en el objetivo, nadando directamente contra la corriente cuando golpea el objetivo. El más grande $v/u < 1$ , cuanto más viaja río abajo antes de llegar a su objetivo (aunque esto está limitado en $\omega/2$ - los caminos más largos golpean aproximadamente la orilla del río en $\omega/2$ luego muévase hacia el objetivo). Si $v/u > 1$ , entonces $y(0)$ divergencias - la corriente te lleva infinitamente río abajo, alcanzando asintóticamente la línea de la costa. Si $v/u=1$ , creo que vienes a descansar a la orilla del río en $\omega/2$ aguas abajo de su objetivo.

Dudo que haya soluciones sin cálculo, aparte del razonamiento general sobre la trayectoria del nadador en los 3 casos anteriores.

Buena respuesta ... He editado la respuesta para mostrar la integración de $\frac{dp}{\sqrt{1 + p^2}}$ sustituyendo $p=\tan \theta$ como se entiende mas..
Hay una manera mucho más fácil de calcular tanto la trayectoria como $y(0)$ (en su sistema de coordenadas) en el caso de que $u=v$ :-)
"nadar directamente contra la corriente cuando da en el blanco". Esto solo es cierto si v = u. A medida que v/u se aproxima a cero, el ángulo de la trayectoria en la orilla opuesta se aproxima a 90 grados.
@WhatRoughBeast No estoy de acuerdo. Si $v=u$ , él nunca da en el blanco, ¿verdad? No importa qué tan rápido nade, en realidad siempre se acerca al objetivo horizontalmente (a 0 grados); esa es la única forma en que la suma de su nado hacia el objetivo y la corriente pueden apuntar al objetivo.
Tienes razón, mi mal. Pero tampoco es correcta su afirmación. El valor límite será una función tanto de v/u como de w.
dy/dx. Para un v/u lo suficientemente grande (como usted señaló, esto es menos de 1) dy/dx se aproxima a cero, aunque estoy bastante seguro de que lo hace asintóticamente. Sin embargo, para valores de v/u menores que esto, cuando el nadador llega a la orilla, dy/dx será mayor que cero y el nadador no está nadando directamente contra la corriente. En realidad, para cualquier tiempo finito dy/dx no llegará a cero.
Para pequeños $x$ , $dy/dx \simeq (1-v/u)(y/x) \simeq (1-v/u) x^{-v/u} \to \infty$ como $x \to \infty$ para $v/u < 1$ . es decir, te acercas al objetivo horizontalmente
Debo admitir que mis propios cálculos me sorprendieron: tiene razón sobre el límite, cualquier v/u < 1 funciona, pero el ángulo final siempre está muy cerca de la horizontal. En realidad, debería haberme dado cuenta de esto: es una versión del problema de persecución sin plomo, y esto produce tasas de ángulo arbitrariamente altas en la terminación. Y creo que estás confundiendo horizontal y vertical. Si el punto inicial es (W,0) y el punto final es (0,0) el río fluye verticalmente. Entonces, un camino horizontal es perpendicular a las orillas del río, y eso me tiró. dy/dx es igual a infinito es una línea vertical, no horizontal.

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