Tratar los espinores como números de Grassmann o como objetos de números c

Los espinores de Lorentz aparecen como representaciones irreducibles del grupo SL(2,C). Los elementos del grupo son matrices de 2x2 con entradas complejas y determinante unitario. Un espinor de Lorentz es un vector de dos componentes$\psi^{A},\chi^{A}\in V_{2}$con$A=1,2$. El tensor de Levi-Civita$\epsilon_{AB}$es un tensor invariante bajo SL(2,C). Esto significa que si tenemos un irrep$\psi^{A}$de SL(2,C) podemos transformarlo con el tensor de Levi-Civita y esto dará una irrep equivalente. Entonces, los vectores covariantes$\psi_{A}\in \tilde{V}_{2}$hecho como$\psi_{A}=\psi^{B}\epsilon_{BA}$son equivalentes a los vectores contravariantes$\psi^{A}$; no importa si usamos$\psi^{A}$o$\psi_{A}$porque ambas cantidades representan la misma cosa física.

La situación es la misma que en el espacio-tiempo de Minkowski cuando usamos$x^{\mu}$o$x_{\mu}=\eta_{\mu\lambda}x^{\lambda}$. Los vectores covariantes y contravariantes en el espacio-tiempo de Minkowski son irreps equivalentes del grupo de Lorentz$O(1,3)$porque la métrica$\eta_{\mu\lambda}$es un tensor invariante.

El único problema con el uso del tensor de Levi-Civita para reducir un índice de espinor es que es antisimétrico, por lo que importa qué índice se suma. He decidido bajar los índices de espinor como$\psi_{A}=\psi^{B}\epsilon_{BA}$y por lo tanto, por consistencia, tengo que apegarme a esta convención y no caer en la tentación de usar$\psi_{A}=\epsilon_{AB}\psi^{B}$.

Habiendo elegido una convención de reducción, me veo obligado a elevar un índice de spinor con$\psi^{A}=\epsilon^{AB}\psi_{B}$porque entonces ambas operaciones son consistentes.

Ahora podemos hacer un escalar SL(2,C)$\psi_{A}\chi^{A}=\chi^{A}\psi_{A}$. El orden de los vectores no importa porque las componentes$\psi^{1},\psi^{2}$son simplemente números complejos. El siguiente bit de índice de gimnasia recupera la propiedad en la segunda ecuación en la pregunta de solitón.

Todo hasta ahora ha sido clásico. Cuando pasamos a la teoría cuántica, los espinores se convierten en operadores.$\psi^{A}\rightarrow \hat{\psi}^{A}$. Estos operadores representan fermiones: como operadores, tienen que obedecer relaciones de anticonmutación, en este caso$[\hat{\psi}^{A},\hat{\chi}^{B}]_{+}=0$. Entonces, repitiendo el último cálculo con operadores,

Tengo que admitir el hecho de que aún no he estudiado la supersimetría, pero creo que esto es lo que debe estar pasando según los principios generales.