¿Cómo se definen las transformaciones de supersimetría?

Question

¿Cómo se definen las transformaciones de supersimetría?

Física
fermiones
superálgebra
supersimetría
Grassmann-números
teoría cuántica de campos

usuario1379857

Estoy empezando a leer sobre la supersimetría por primera vez y hay algo que me preocupa. Las transformaciones de supersimetría se transforman entre campos bosónicos y campos fermiónicos, pero no veo cómo se puede definir esto. Tome el siguiente ejemplo simple que aparece al principio de las notas que estoy leyendo. En cuatro dimensiones, digamos $S$ es un campo escalar real, $P$ es un pseudo campo escalar real, y $\psi$ es un espinor de Majorana. Tome el Lagrangiano para ser simplemente

L = - \frac{1}{2} (\partial S)^{2} - \frac{1}{2} (\partial PAG)^{2} - \frac{1}{2} \bar{ψ} \partial / ψ .

$\mathcal{L} = - \frac{1}{2} (\partial S)^2 - \frac{1}{2} (\partial P)^2 - \frac{1}{2} \bar{\psi} \partial\!\!\!/ \psi.$

Ahora, $S$ y $P$ son solo campos reales. (Y realmente son campos clásicos, porque los lagrangianos siempre son funciones de variables clásicas, incluso cuando estamos interesados en QFT). Sin embargo, $\psi$ está hecho de variables de Grassmann anticonmutantes. Entonces podemos ver que el $\psi$ campo no está hecho del mismo "tipo" de objeto que el $S$ y $P$ campos. En otras palabras, $S$ es una funcion

S : R^{4} \to R

$S: \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}$ mientras creo

ψ

$\psi$ es una funcion

ψ : R^{4} \to orden 1 elementos de GRAMO r (4, R)

$\psi: \mathbb{R}^4 \to \text{order 1 elements of } Gr(4, \mathbb{R})$ dónde

G r (4, R)

$Gr(4,\mathbb{R})$ denota el álgebra real de Grassmann con 4 generadores. (Corríjame si me equivoco). Por elementos de orden 1, me refiero a combinaciones lineales de los cuatro generadores de

G r (4, R)

$Gr(4, \mathbb{R})$ . Como espacio vectorial, esto es igual a

R^{4}

$\mathbb{R}^4$ .

¿Cómo podemos entonces considerar transformaciones de "supersimetría" de la siguiente forma?

\begin{aligned} d_{ε} S & = \bar{ε} ψ \\ d_{ε} PAG & = \bar{ε} γ_{5} ψ \\ d_{ε} ψ & = \partial / (S + PAG γ_{5}) ε \end{aligned}

$\begin{align*} \delta_\varepsilon S &= \bar{\varepsilon} \psi \\ \delta_\varepsilon P &= \bar{\varepsilon} \gamma_5 \psi \\ \delta_\varepsilon \psi &= \partial\!\!\!/ (S + P \gamma_5) \varepsilon \end{align*}$ (

ε

$\varepsilon$ es un espinor de Majorana constante.)

\bar{ε} ψ

$\bar{\varepsilon} \psi$ es ahora un número de Grassmann de orden 2, que simplemente no es el mismo "tipo" de cosa que

S

$S$ , que es solo un número real! Entonces, ¿cómo se define esta "transformación"?

Quizás no entiendo cómo se supone que funciona realmente un campo de fermiones "clásico", o cómo se utilizan estos números de Grassmann.

Respuestas (2)

¿Cómo se definen las transformaciones de supersimetría?

usuario178876 · Answer 1

En realidad, esta es una pregunta bastante sutil, que en realidad no se explica en demasiados libros de texto. Como dice Qmechanic, las variables de Grassmann, es decir, los elementos del álgebra de Grassmann de dimensión infinita $\Lambda_\infty$ , tienen en general cuerpo y alma. Ahora, por supuesto, puedes decir: espera, ¿no es la acción solo

S = \int d^{4} X L,

$S=\int\!\mathrm{d}^4x\,\mathcal{L}\;,$ y como puedo

S

$S$ tener alma? La respuesta es que en este contexto la acción aquí es simplemente algo que entra en la integral de trayectoria a través de

correlador = \int D ψ D \bar{ψ} D ϕ D PAG \dots Exp (i S),

$\text{correlator}=\int \mathcal{D}\psi\,\mathcal{D}\bar\psi\,\mathcal{D}\phi\,\mathcal{D}P\, \dots \exp(\mathrm{i}\,S)\;,$ donde cambié el nombre de tu campo

S

$S$ a

ϕ

$\phi$ para distinguirla de la acción

S

$S$ . El punto importante a notar es que el correlador en el lado izquierdo es solo un número complejo ordinario, y no un elemento de

Λ_{\infty}

$\Lambda_\infty$ , porque en la integral de trayectoria nos deshicimos de todos los objetos algebraicos. Esto es porque

\int d θ θ = 1

$\int\mathrm{d}\theta\,\theta=1$ para números a. Así que el resultado es que en este contexto

L

$\mathcal{L}$ y todos los campos son realmente elementos de

Λ_{\infty}

$\Lambda_\infty$ , y por lo tanto

\bar{ε} ψ

$\bar\varepsilon\psi$ es algo por lo que uno puede desplazar un campo escalar.

Veo. Entonces, la integral de trayectoria total es tanto una integral de trayectoria regular como una integral de trayectoria de Berezin. La acción $S$ toma supernúmeros como su entrada, y nuestra transformación se lleva a cabo dentro de las entradas de $S$ , por lo que la integral de trayectoria total aún está definida.
@ user1379857 Sí, así es más o menos. En este contexto, la acción es solo un objeto que nos permite calcular correladores.

qmecanico · Answer 2

Las variables pares de Grassmann $S$ y $P$ Son supernúmeros , que pueden tener tanto cuerpo como alma, no solo cuerpo. Ver, por ejemplo, esta publicación Phys.SE relacionada.

¿Cómo se definen las transformaciones de supersimetría?

usuario1379857

Respuestas (2)

usuario178876

usuario1379857

usuario178876

qmecanico

Explicación de localización y supersimetría.

Pregunta integral básica de Grassmann/Berezin

¿Las coordenadas de Grassmann en el formalismo de supercampo tienen algún significado físico?

Paradoja de Grassmann rareza

¿Qué son exactamente los "campos con valores de Grassmann"?

Convierta números de Grassmann en números reales [cerrado]

¿Qué son los números de Grassmann (pares/impares) que se usan en las superálgebras?

¿Puede cuantificar los supercampos incluso de Grassmann de la misma manera que los campos de bosones?

Pregunta sobre la expresión del índice de Witten

¿Cuáles son los parámetros de espinor anticonmutación ζαζα\zeta^\alpha?