Demostrando que el Lagrangiano de Wess-Zumino es invariante bajo una transformación SUSY

Primero, para la notación de componentes de fermiones en el libro de texto de Martin. Olvídese de sus anotaciones por un tiempo y comience desde el principio. Para los espinores de Weyl, permítanme reemplazar la daga (hc) con la barra para evitar el desorden (que es una práctica bastante común). Esta barra (o daga) siempre acompaña a los índices punteados, superiores o inferiores, mientras que los índices sin puntos siempre están sin barra. El índice inferior sin puntos representa un espinor de columna zurdo , mientras que el índice superior sin puntos representa un espinor de fila zurdo . Por el contrario, el índice punteado inferior representa un espinor de fila a la derecha , mientras que el índice punteado superior representa un espinor de columna a la derecha . Los índices (como probablemente haya leído) aumentan y disminuyen mediante tensores antisimétricos ($\varepsilon_{ab}$o$\varepsilon_{\dot{a}\dot{b}}$). Para resumir:

$$\psi_a= \begin{pmatrix} \psi_{1} \\ \psi_{2} \end{pmatrix}~,~~~ \psi^a=(\psi_2,~-\psi_1)~,$$ y para el espinor diestro $$\bar{\chi}_\dot{a}=(\bar{\chi}_1,~\bar{\chi}_2),~~~ \bar{\chi}^\dot{a}= \begin{pmatrix} \bar{\chi}_{2} \\ -\bar{\chi}_{1} \end{pmatrix},~~~$$ donde usé$\varepsilon^{12}=\varepsilon_{21}=1$(lo mismo para índices con puntos y sin puntos) y menos uno para índices conmutados. Según el libro de texto, también tenemos$(\psi_a)^\dagger=\bar{\psi}_\dot{a}$, donde la barra es lo mismo que la daga en mi notación, como mencioné. Entonces, de la definición anterior de$\psi$, $$\bar{\psi}_\dot{a}=(\psi_1^*,~\psi_2^*),~~~ \bar{\psi}^\dot{a}= \begin{pmatrix} \psi_2^*\\ -\psi_1^* \end{pmatrix},$$ dónde$\dagger=*$para cada componente en particular.

En cuanto a las matrices de Pauli, existe la siguiente notación de "barra", donde la barra acompaña a los componentes de la matriz con índices superiores:

$$\bar{\sigma}^{\dot{a}a}=\varepsilon^{\dot{a}\dot{b}}\varepsilon^{ab}\sigma_{b\dot{b}}$$ suprimiendo el índice del espacio-tiempo. Los componentes de la matriz con índices más bajos siempre están sin barra.

Finalmente a la pregunta en sí, la cantidad$(\sigma^{\mu}_{a\dot{a}}\bar{\epsilon}^\dot{a})$es un espinor (componente), por lo que estamos interesados ​​en el conjugado hermitiano ($\dagger$, o barra en mi notación) en lugar de * (barra en su notación). Por lo tanto, la cantidad en cuestión debe tratarse como

$$(\sigma^{\mu}_{a\dot{a}}\bar{\epsilon}^\dot{a})^\dagger=(\sigma^\mu\bar{\epsilon})_{a}^\dagger=(\epsilon\sigma^\mu)_\dot{a}=\epsilon^a\sigma^{\mu}_{a\dot{a}}.$$ La razón por la que no hay barra en el$\sigma$es que tiene índices de espinor más bajos, por lo que, por convención, está "sin barras".

Además: en su derivación de$\delta\bar{\psi}_\dot{a}$debe haber conjugación hermitiana, es decir, en notación matricial

$$\delta\bar{\psi}=i(\sigma^\mu\bar{\epsilon})^\dagger\partial_\mu\phi^*+\bar{\epsilon}F^*= i(\epsilon{\sigma^\mu}^\dagger)\partial_\mu\phi^*+\bar{\epsilon}F^*~,\tag{1}$$ y porque las matrices de Pauli son hermitianas$\sigma=\sigma^\dagger$, tienes la expresión (3.1.15). Y, por cierto, la notación de barra para las matrices de Pauli que escribí anteriormente da los componentes de la matriz de Pauli transpuesta (o compleja conjugada), pero en la ecuación (1) hay una conjugación hermitiana, por lo tanto, no hay matrices de Pauli barradas en el resultado final. Creo que este es el punto principal.