Explicación de localización y supersimetría.

Estoy confundido acerca de la sección 9.3 del libro Mirror Symmetry . En particular, estoy confundido acerca de la derivación realizada en las ecuaciones (9.32) a (9.35) donde afirman que la función de partición es cero si h ′ no tiene ceros.

Específicamente, considere un QFT de dimensión 0 con variables fermiónicas y bosónicas, definidas por la acción

(9.25) S = S 0 − S 1 ψ 1 ψ 2
con
(9.28) S 0 ( X ) = 1 2 [ h ′ ( X ) ] 2 y S 1 = h ″ ( X ) .
La función de partición es
(9.26) Z = ∫ d X d ψ 1 d ψ 2 mi − S .
Esta acción tiene simetrías extrañas:
(9.30') V 1 = ψ 1 ∂ ∂ X − h ′ ( X ) ∂ ∂ ψ 2 y V 2 = ψ 2 ∂ ∂ X + h ′ ( X ) ∂ ∂ ψ 1 .
Esto conduce a las transformaciones infinitesimales
d X = ϵ 1 ψ 1 + ϵ 2 ψ 2
(9.30) d ψ 1 = ϵ 2 h ′
d ψ 2 = − ϵ 1 h ′ .
Luego, al explotar estas simetrías, afirman que Z = 0 si h ′ es en todas partes distinto de cero. Aquí es donde surge mi confusión.

  1. ¿Es "legal" usar

    (1) ϵ 1 = ϵ 2 = − ψ 1 / h ′
    cambiar una de las variables fermiónicas a cero? pensé que el ϵ Ha tenido que ser infinitesimal para que la transformación sea una simetría y deje invariante la acción.

  2. ¿Cómo "motiva" esto el cambio de variables en la ecuación (9.32) a continuación?

    X ^ := X − ψ 1 ψ 2 h ′
    (9.32) ψ ^ 1 := α ( X ) ψ 1
    ψ ^ 2 := ψ 1 + ψ 2 .

  3. ¿Cómo llegaron a (9.33) y (9.34)? La ecuación (9.33) establece que

    (9.33) S ( X , ψ 1 , ψ 2 ) = S ( X ^ , 0 , ψ ^ 2 )
    presumiblemente debido a la simetría. pero que hace S ( X ^ , 0 , ψ ^ 2 ) en realidad parece? La ecuación (9.34) es la transformación de la medida del cambio de variables anterior;
    (9.34) d X d ψ 1 d ψ 2 = ( α ( X ^ ) − h ″ ( X ^ ) ( h ′ ( X ^ ) ) 2 ψ ^ 1 ψ ^ 2 ) d X ^ d ψ ^ 1 d ψ ^ 2 .
    No estoy muy seguro de dónde vino esto.

  4. La ecuación (9.35) proviene directamente de sustituir (9.34) (el cambio de medida) en la función de partición. Pero, ¿dónde está la derivada total en X ^ en el segundo termino

    (9.35') ∫ mi − S ( X ^ , 0 , ψ ^ 2 ) h ″ ( X ^ ) ( h ′ ( X ^ ) ) 2 ψ ^ 1 ψ ^ 2 d X ^ d ψ ^ 1 d ψ ^ 2 ?
    Supongo que esto puede ser más evidente si supiera cuál es la función S ( X ^ , 0 , ψ ^ 2 ) parecía.

Respuestas (1)

  1. En primer lugar, debemos darnos cuenta de que los parámetros infinitesimales Grassmann-impares ϵ 1 y ϵ 2 pueden depender de las variables X , ψ 1 y ψ 2 en la transformación SUSY infinitesimal (9.30). Claramente necesitaremos eso en la ec. (1).

    OP hace una buena pregunta sobre el estado de las transformaciones SUSY finitas. Con este fin, consideremos una subclase de parámetros infinitesimales de la forma

    (1') ϵ 1 ( X , ψ 1 , ψ 2 )   =   F 1 ( X ) h ′ ( X ) ψ 1 , ϵ 2 ( X , ψ 1 , ψ 2 )   =   F 2 ( X ) h ′ ( X ) ψ 1 ,
    dónde F 1 ( X ) y F 2 ( X ) son dos funciones infinitesimales arbitrarias. [Aquí hemos utilizado la suposición de que h ′ ( X ) ≠ 0 por conveniencia posterior.] Entonces la transformación SUSY infinitesimal (9.30) se convierte en
    (9,30'') d X   =   F 2 ( X ) h ′ ( X ) ψ 1 ψ 2 , d ψ 1   =   F 2 ( X ) ψ 1 , d ψ 2   =   − F 1 ( X ) ψ 1 .
    Esto se puede integrar hasta las correspondientes transformaciones SUSY finitas
    (9,30'') X ^   =   X + F 2 ( X ) h ′ ( X ) ψ 1 ψ 2 , ψ ^ 1   =   α ( X ) ψ 1 , α ( X )   :=   1 + F 2 ( X ) , ψ ^ 2   =   ψ 2 − F 1 ( X ) ψ 1 ,
    dónde F 1 ( X ) y F 2 ( X ) son dos funciones finitas arbitrarias. [El lector debe verificar que la transformación SUSY finita (9.30''') es invariante de forma bajo composición.]

    En particular, es sencillo comprobar que la acción

    S ( X ^ , ψ ^ 1 , ψ ^ 2 )   =   S ( X , ψ 1 , ψ 2 )
    es invariante bajo la transformación SUSY finita (9.30''').

    Es sencillo ver que la transformación SUSY finita inversa (9.30''') se convierte en

    (9,30'''') X   =   X ^ − F 2 ( X ^ ) α ( X ^ ) h ′ ( X ^ ) ψ ^ 1 ψ ^ 2 , ψ 1   =   1 α ( X ^ ) ψ ^ 1 , ψ 2   =   ψ ^ 2 + F 1 ( X ^ ) α ( X ^ ) ψ ^ 1 .
    [Sugerencia: Comience por establecer la ecuación del medio.]

  2. El ansatz (1') [y el ansatz (1)] fueron elegidos porque es engorroso (pero sospechamos que no imposible) integrar las transformaciones SUSY infinitesimales (9.30) directamente. Es mucho más fácil considerar sólo subvariaciones proporcionales a ψ 1 , porque entonces podemos usar repetidamente la nilpotencia ψ 1 2 = 0 simplificar. Para llegar a la ec. (9.32) de la ec. (9.30'') ahora selecciona

    F 1 ( X )   =   F 2 ( X )   =   − 1 , α ( X )   :=   1 + F 2 ( X )   =   0 , ψ ^ 1   =   α ( X ) ψ 1   =   0.
    Sin embargo, esta es una transformación singular, así que primero supongamos que F 1 y F 2 son X -constantes independientes diferentes de − 1 , y solo al final del cálculo tome el límite que va a − 1 .

  3. Desde Ref. 1 identifica la integración de Berezin con la diferenciación de la derecha, cf. ec. (9.20), las derivadas en la supermatriz jacobiana son derivadas rectas. La supermatriz jacobiana se convierte en

    ∂ R ( X , ψ 1 , ψ 2 ) ∂ ( X ^ , ψ ^ 1 , ψ ^ 2 )   =   ( 1 + F 2 h ′ ′ ( X ^ ) α h ′ ( X ^ ) 2 ψ ^ 1 ψ ^ 2 ∗ ∗ 0 1 α 0 0 ∗ 1 ) .
    El superdeterminante/bereziniano se convierte en
    s d mi t ∂ R ( X , ψ 1 , ψ 2 ) ∂ ( X ^ , ψ ^ 1 , ψ ^ 2 )   =   α + F 2 h ′ ′ ( X ^ ) h ′ ( X ^ ) 2 ψ ^ 1 ψ ^ 2 ,
    lo que explica la ec. (9.34).

  4. Finalmente tomemos el límite. La acción

    S ( X ^ , ψ ^ 1 = 0 , ψ ^ 2 )   =   S 0 ( X ^ )   =   1 2 h ′ ( X ^ ) 2
    hace el integrando (9.35') de la forma
    h ′ ′ ( X ^ )   F C t ( h ′ ( X ^ ) ) ,
    que es claramente un derivado total wrt. X ^ .

Referencias:

  1. K. Hori, S. Katz, A. Klemm, R. Pandharipande, R. Thomas, C. Vafa, R. Vakil y E. Zaslow, Mirror Symmetry, 2003; Secciones 9.2-9.3. El archivo pdf está disponible aquí .
¡Gracias, esto es increíblemente útil! Un par de preguntas: 1. En general, ¿existe un procedimiento para integrar transformaciones infinitesimales para obtener transformaciones finitas? (Si no, ¿cómo obtuvo (9.30''')?) 2. Y, ¿obtuvo la transformación inversa cambiando el signo de la transformación infinitesimal e integrando? Si no, ¿cómo se obtuvo la transformación inversa?
3. ¿Puede simplemente reemplazar X con X ^ dentro de las funciones F 1 ( X ) , F 2 ( X ) , h ′ ( X ) ?
1. Esto parece demasiado amplio para un comentario. 2. No, directamente de la transformación SUSY finita (9,30'''). 3. Sí, si está parado al lado ψ 1 .
Actualicé la respuesta.
Estoy haciendo los mismos cálculos y tengo algunas dudas sobre la respuesta de @Qmechanic. Primero al calcular la transformación inversa para ψ 1 , también obtengo un término que viene con ψ ^ 1 ψ ^ 2 que no veo por qué debería cancelar. Y para el jacobiano por qué es el α ( X ^ ) no se deriva?
Explicación de localización y supersimetría.
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